Questão 1.[2,50 pontos]
Calcule a matriz jacobiana de f(x, y, z)=\left(\operatorname{sen}(x y z), z^{x+y}\right).

Passo 1

O enunciado pede a matriz jacobiana de
f(x,y,z) = \bigl(\operatorname{sen}(xyz),\,z^{\,x+y}\bigr).
Isso envolve calcular todas as derivadas parciais de cada componente em relação a x, y e z. Vamos usar o regra da cadeia para \operatorname{sen}(u) com u=xyz e a derivação de potência z^{\,u}, que podemos tratar como e^{u\ln z}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais da primeira componente f_{1}(x,y,z)=\operatorname{sen}(xyz). Seja
u(x,y,z)=xyz,
então \frac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\cos(u) e
\frac{\partial u}{\partial x}=yz,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=xz,\quad \frac{\partial u}{\partial z}=xy.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f_{1}}{\partial x} =\cos(xyz)\cdot(yz),\quad \frac{\partial f_{1}}{\partial y} =\cos(xyz)\cdot(xz),\quad \frac{\partial f_{1}}{\partial z} =\cos(xyz)\cdot(xy).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais da segunda componente f_{2}(x,y,z)=z^{\,x+y}. Escrevemos
f_{2}(x,y,z)=e^{(x+y)\ln z}.
Então, mantendo u=x+y:
\frac{\partial f_{2}}{\partial x} =f_{2}\,\ln z =z^{\,x+y}\ln z, \quad \frac{\partial f_{2}}{\partial y} =z^{\,x+y}\ln z.
Para \partial/\partial z, usamos a forma z^{u} com u constante:
\frac{\partial f_{2}}{\partial z} =(x+y)\,z^{\,x+y-1}.

Passo 4

Agora montamos a matriz jacobiana J_{f}(x,y,z) de dimensão 2\times3, cujas linhas são os gradientes de f_{1} e f_{2}:
J_{f}(x,y,z) =\begin{pmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} & \frac{\partial f_{1}}{\partial z}\\[6pt] \frac{\partial f_{2}}{\partial x} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y} & \frac{\partial f_{2}}{\partial z} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} yz\cos(xyz) & xz\cos(xyz) & xy\cos(xyz)\\[6pt] z^{\,x+y}\ln z & z^{\,x+y}\ln z & (x+y)\,z^{\,x+y-1} \end{pmatrix}.]

Resposta

J_{f}(x,y,z) =\begin{pmatrix} yz\cos(xyz) & xz\cos(xyz) & xy\cos(xyz)\\[6pt] z^{\,x+y}\ln z & z^{\,x+y}\ln z & (x+y)\,z^{\,x+y-1} \end{pmatrix}.]

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