Faça o gráfico das retas abaixo.
(x, y, z)=(1,2,1)+t(-1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede o esboço da reta em R^3 dada pela forma paramétrica
(x,y,z) = (1,2,1) + t,(-1,1,0)
O conteúdo aqui é interpretação de reta em R^3: identificamos ponto inicial, vetor diretor e, se possível, escrevemos a reta em forma cartesiana para facilitar o desenho.

Passo 2

Escrevemos as equações paramétricas extraídas de
(x,y,z) = (1,2,1) + t,(-1,1,0)
que são
x = 1 - t, y = 2 + t, z = 1
Observamos que ,z=1 independe de t, logo a reta está contida no plano paralelo ao plano xy passando em z=1.

Passo 3

Para obter a equação cartesiana no plano z=1, eliminamos t:
x = 1 - t Longrightarrow t = 1 - x Longrightarrow y = 2 + (1 - x) = 3 - x,
logo no plano z=1 a reta satisfaz
x + y = 3, z = 1

Passo 4

Para esboçar, basta marcar três pontos da reta e unir:
,t=0Rightarrow(1,2,1),
,t=1Rightarrow(0,3,1),
,t=-1Rightarrow(2,1,1).
Todos estão em z=1 e alinhados segundo o vetor (-1,1,0).
No desenho, trace os eixos x, y, z, marque o plano z=1 (como uma “base” elevada) e nela placar a reta que intercepta os pontos (2,1,1), (1,2,1) e (0,3,1).

Resposta

A reta em R^3 é dada por
x = 1 - t, y = 2 + t, z = 1,
ou, equivalentemente, como interseção dos planos
x + y = 3 e z = 1

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