Questão 5. Verifique se as seguintes integrais impróprias abaixo convergem ou divergem. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
integral-infty^+infty 11+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
integral-infty^+infty 11+x^2,dx
converge e, em caso afirmativo, calcular o seu valor. O conteúdo envolve integrais impróprias de tipo infinito e a primitivação de funções racionais básicas.

Passo 2

Para testar a convergência, dividimos a integral em duas partes que lidam com o infinito em cada extremo:
integral-infty^+infty 11+x^2,dx = integral-infty^0 11+x^2,dx + integral0^+infty 11+x^2,dx

Passo 3

Precisamos da primitiva de tfrac11+x^2. Sabemos que
integral 11+x^2,dx = arctan(x) + C

Passo 4

Agora avaliamos cada parte como limite:
integral0^+infty 11+x^2,dx = limbto+infty l[arctan(x)r]0^b = limbto+inftyl(arctan(b)-arctan(0)r) = pi2-0 = pi2
integral-infty^0 11+x^2,dx = limato-infty l[arctan(x)r]a^0 = limato-inftyl(arctan(0)-arctan(a)r) = 0 - l(-tfracpi2r) = pi2
Cada limite é finito, logo as duas integrais convergem.

Passo 5

Somando as duas contribuições, obtemos
integral-infty^+infty 11+x^2,dx = pi2 + pi2 = pi

Resposta

A integral converge e vale pi.

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