Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
2(cos pi6+i sin pi6)

Passo 1

O enunciado nos pede para trabalhar com o número complexo
z = 2l(cospi6 + isinpi6r)
no plano complexo. Precisamos:
– converter para a forma x + i y,
– calcular sua parte real x, parte imaginária y, módulo r e argumento theta,
– encontrar o conjugado overline z,
– e fazer o gráfico de z e de overline z no plano.

Passo 2

Converter z para a forma algébrica usando cospi6=raiz32 e sinpi6=12:
z = 2l(tfracraiz32 + itfrac12r) = raiz3 + i
Logo a parte real é
x = raiz3,
e a parte imaginária é
y = 1

Passo 3

Calcular o módulo r e um argumento theta. Pela definição,
r = |z| = raizx^2 + y^2 = raiz(raiz3)^2 + 1^2 = raiz3 + 1 = 2
E o argumento (no ramo principal) é
theta = arctan!l(tfracyxr) = arctan!l(tfrac1raiz3r) = pi6

Passo 4

O conjugado de z é
overline z = x - i y = raiz3 - i

Passo 5

Para overline z temos
|overline z| = raiz(raiz3)^2 + (-1)^2 = 2,
e um argumento possível é
thetaoverline z = arctan!l(tfrac-1raiz3r) = -pi6

Passo 6

No gráfico:
– O ponto z está em l(raiz3,1r), a distância 2 da origem, formando ângulo pi/6.
– O ponto overline z está em l(raiz3,-1r), mesma distância, ângulo -pi/6.
Basta desenhar os eixos x e y, marcar raiz3approx1,732 no eixo real, subir até y=1 para z e descer até y=-1 para overline z.

Resposta

z = raiz3 + i
partes: x = raiz3, y = 1
módulo: r = 2
argumento: theta = pi6
overline z = raiz3 - i
partes: x = raiz3, y = -1
módulo: r = 2
argumento: theta = -pi6
Gráficos: ponto em (raiz3,1) para z e em (raiz3,-1) para overline z.

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