Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
cos 3 pi2+i sin 3 pi2

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z = cos3pi2 + i sin3pi2
e pede:
  1. a parte real x e a parte imaginária y,
  2. o módulo r,
  3. um valor do argumento theta,
  4. o gráfico de z no plano complexo,
  5. o conjugado z e seu gráfico.

Passo 2

Calcular a parte real x e a parte imaginária y usando definições de cosseno e seno:
x = Re(z) = cos3pi2 = 0, y = Im(z) = sin3pi2 = -1

Passo 3

Calcular o módulo
r = |z| = raizx^2 + y^2 = raiz0^2 + (-1)^2 = 1

Passo 4

Escolher um valor para o argumento theta. Pelo enunciado em forma polar, basta tomar
theta = 3pi2
(um valor equivalente é -tfracpi2).

Passo 5

Gráfico de z:
No plano complexo, o ponto correspondente a z tem coordenadas (x,y) = (0,-1). Isso fica sobre o eixo imaginário negativo, a uma unidade da origem.

Passo 6

Calcular o conjugado
z = x - i,y = 0 - i(-1) = i
Em forma cartesiana, z corresponde a (0,1).

Passo 7

Gráfico de z:
No plano complexo, marcamos o ponto (0,1) sobre o eixo imaginário positivo, a uma unidade da origem.

Resposta

x = 0
y = -1
r = 1
theta = tfrac3pi2 (ou -tfracpi2)
Conjugado: z = i.
Gráficos:
  • z no ponto (0,-1), vetor de origem até ali.
  • z no ponto (0,1), vetor de origem até ali.

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