Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
4(cos 2 pi3-i sin 2 pi3)

Passo 1

O enunciado fornece o número complexo
z = 4l(costfrac2pi3 ;-; i,sintfrac2pi3r)
e pede que encontremos a parte real x, a parte imaginária y, o módulo r, um valor de ângulo theta, que tracemos z no plano complexo e, por fim, que tracemos também o conjugado bar z.

Passo 2

Vamos passar z para a forma retangular. Sabemos que
costfrac2pi3 = -tfrac12 , sintfrac2pi3 = tfracraiz32,
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z = 4l(-tfrac12r);-;i,4l(tfracraiz32r) = -2 ;-; 2raiz3,i

Passo 3

Da forma z=-2-2raiz3,i extraímos
Re(z) = -2, Im(z) = -2raiz3
O módulo é
r = lvert zrvert = raiz(-2)^2 + l(-2raiz3r)^2 = raiz4 + 12 = 4
Para o argumento calculamos
phi = arctan!l(tfracIm(z)Re(z)r) = arctan!l(tfrac-2raiz3-2r) = arctan(raiz3) = tfracpi3,
mas como Re(z)<0 e Im(z)<0 o ponto está no terceiro quadrante. Assim
theta = pi + tfracpi3 = tfrac4pi3,
que é equivalente a
theta = -tfrac2pi3 (admitido em (-pi,pi])

Passo 4

O conjugado é
bar z = -2 + 2raiz3,i,
cujo módulo também é 4 e cujo argumento, agora no segundo quadrante, é
arg(bar z) = tfrac2pi3
Graficamente, z está no ponto (-2,,-2raiz3) a 120^circ abaixo do eixo positivo (ou -120^circ), e bar z é o reflexo sobre o eixo real, em (-2,,+2raiz3) a 120^circ acima do eixo positivo.

Resposta

Para
z = 4l(costfrac2pi3-isintfrac2pi3r):
Re(z)=-2, Im(z)=-2raiz3, lvert zrvert=4, theta=-tfrac2pi3 (ou tfrac4pi3).
Para o conjugado bar z:
bar z=-2+2raiz3,i, lvert bar zrvert=4, arg(bar z)=tfrac2pi3.

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