Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
5(cos 20^circ+i sin 20^circ)

Passo 1

O enunciado pede para representar o número complexo dado em forma trigonométrica no plano, calcular sua parte real, parte imaginária, módulo e argumento, e em seguida obter e também representar o conjugado desse número.

Passo 2

Lembrando que se temos um número em forma trigonométrica z=r(costheta + isintheta), então a parte real e a parte imaginária são dadas por
x=rcostheta e y=rsintheta. Aqui temos r=5 e theta=20^circ.
Calculamos
x = 5cos20^circ approx 5cdot0.9397 = 4.6985
y = 5sin20^circ approx 5cdot0.3420 = 1.7100

Passo 3

O módulo já é r=5 e o argumento theta=20^circ. No plano complexo, plotamos o ponto (4.6985,1.7100) e traçamos o vetor de origem até ele.
Para o conjugado overline z, invertamos o sinal da parte imaginária: overline z = x - i y = 4.6985 - i,1.7100. O módulo permanece 5 e o argumento fica -20^circ (ou equivalentemente 340^circ).
No gráfico, overline z aparece em (4.6985,-1.7100), simétrico de z em relação ao eixo real.

Resposta

Para z=5(cos20^circ+isin20^circ):
— Parte real xapprox4.6985
— Parte imaginária yapprox1.7100
— Módulo r=5
— Ângulo theta=20^circ
Para o conjugado overline z:
— Parte real xapprox4.6985
— Parte imaginária yapprox-1.7100
— Módulo r=5
— Ângulo theta=-20^circ (ou 340^circ)
Graficamente, z está no quadrante I em (4.6985,1.7100) e overline z no quadrante IV em (4.6985,-1.7100).

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