Problema 3.20. Efetue a divisão euclidiana nos seguintes casos:
(a) de -43 por 3
(b) de -43 por 5
(c) de -233 por 4

Passo 1

O enunciado pede para realizarmos a divisão euclidiana de inteiros negativos por inteiros positivos. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Divisão Euclidiana, que diz que, dados inteiros a e b>0, existem únicos inteiros q (quociente) e r (resto) tais que
a = b,q + r
com
0 <= r < b

Passo 2

Para obtermos q e r podemos usar a relação
q = lfloor tfracabrfloor, r = a - b,q,
onde lfloor xrfloor é a parte inteira (piso) de x. Essa escolha garante r>=0 e r<b.

Passo 3

Caso (a): a=-43, b=3.
Calculamos
tfrac-433 approx -14,333Longrightarrow q = lfloor -14,333rfloor = -15
Então
r = -43 - 3cdot(-15) = -43 +45 = 2,
e conferimos 0<=2<3. Logo
-43 = 3cdot(-15) + 2

Passo 4

Caso (b): a=-43, b=5.
tfrac-435 = -8,6Longrightarrow q = lfloor -8,6rfloor = -9
r = -43 - 5cdot(-9) = -43 +45 = 2,
com 0<=2<5. Assim
-43 = 5cdot(-9) + 2

Passo 5

Caso (c): a=-233, b=4.
tfrac-2334 = -58,25Longrightarrow q = lfloor -58,25rfloor = -59
r = -233 - 4cdot(-59) = -233 +236 = 3,
e de fato 0<=3<4. Portanto
-233 = 4cdot(-59) + 3

Resposta

(a) ;q=-15,;r=2
(b) ;q=-9,;r=2
(c) ;q=-59,;r=3

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