Questão Dada a função
. Determine:
i) Quais dos pontos abaixo, é ponto crítico da função
, caso exista:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l) NDA
ii) Marque com Co intervalo onde
é Crescente ou
onde
é Decrescente:
(a) []
(b) []
(c) []
(d) []
(e) []
(f) []
(g) []
(h) []
(i) []
(j) [ ]
(k) [ ]
(l) NDA
iii) Marque com
o ponto onde
é de Máximo local ou
onde
é de mínimo local:
(a) []
(b) []
(c) []
(d) []
(e) []
(f) [ ] ( 0,0 )
(g) []
(h) []
(i) []
(j) [ ]
(k) [ ]
(l) NDA
iv) Esboce o gráfico da função
, usando as informações anteriores.
i) Quais dos pontos abaixo, é ponto crítico da função
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l) NDA
ii) Marque com Co intervalo onde
(a) []
(b) []
(c) []
(d) []
(e) []
(f) []
(g) []
(h) []
(i) []
(j) [ ]
(k) [ ]
(l) NDA
iii) Marque com
(a) []
(b) []
(c) []
(d) []
(e) []
(f) [ ] ( 0,0 )
(g) []
(h) []
(i) []
(j) [ ]
(k) [ ]
(l) NDA
iv) Esboce o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função
. O que a gente precisa fazer é:
- Encontrar os pontos críticos dessa função entre os pontos listados.
- Determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Identificar os pontos que são máximos ou mínimos locais.
- Esboçar o gráfico da função usando todas essas informações.
Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas, já que elas nos ajudam a encontrar pontos críticos e entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto
.
A função é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Como nossa derivada
é um polinômio, ela existe para todo
, então só precisamos achar onde
:
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 4
Vamos verificar quais dos pontos listados são pontos críticos da função. Os pontos fornecidos são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l) NDA
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l) NDA
Lembrando que os pontos críticos têm
ou
. Vamos verificar:
- (0,0):
→ ponto crítico ✅ - Nenhum dos outros pontos tem
ou .
Então, apenas o ponto (d)
é ponto crítico.
Passo 5
Agora, vamos determinar onde a função
está crescente ou decrescente. Para isso, analisamos o sinal da derivada
:
Encontramos os pontos críticos em
e
. Vamos dividir a reta numérica nesses pontos e testar o sinal da derivada em cada intervalo:
- Intervalo
: - Escolha
:
- Escolha
- Derivada positiva → Crescente
- Intervalo
: - Escolha
:
- Escolha
- Derivada negativa → Decrescente
- Intervalo
: - Escolha
:
- Escolha
- Derivada positiva → Crescente
Passo 6
Agora, vamos marcar os intervalos:
ii) Marque com C onde
é Crescente ou D onde
é Decrescente:
(a)
→ Dentro de
→ D
(b)
→ Dentro de
→ C
(c)
→ Dentro de
→ C
(d)
→ Dentro de
→ C
(e)
→ Dentro de
→ C
(f)
→ Ponto único → N/A
(g)
→ Dentro de
→ D
(h)
→ Dentro de
→ D
(i)
→ Dentro de
→ C
(j)
→ Dentro de
→ D
(k)
→ Dentro de
→ D
(l) NDA
Passo 7
Agora, vamos identificar os máximos e mínimos locais nos pontos críticos. Sabemos que
é um ponto crítico. Vamos verificar se é máximo ou mínimo usando o teste da segunda derivada ou analisando o comportamento da derivada.
Analisando o comportamento:
- Antes de
, a derivada é positiva (função crescente). - Depois de
, a derivada é negativa (função decrescente).
Isso significa que
é um ponto de máximo local.
iii) Marque com M onde
é de Máximo local ou m onde
é de mínimo local:
(a)
→ Não é ponto crítico → N/A
(b)
→ Não é ponto crítico → N/A
(c)
→ Não é ponto crítico → N/A
(d)
→ Não é ponto crítico → N/A
(e)
→ Não é ponto crítico → N/A
(f)
→ M
(g)
→ Não é ponto crítico → N/A
(h)
→ Não é ponto crítico → N/A
(i)
→ Não é ponto crítico → N/A
(j)
→ Não é ponto crítico → N/A
(k)
→ Não é ponto crítico → N/A
(l) NDA
Passo 8
Finalmente, para esboçar o gráfico da função
, usamos as informações que encontramos:
- Pontos críticos:
(máximo local) - Comportamento:
- Crescente em
e - Decrescente em
- Crescente em
- Interseções:
- A função passa pela origem
- A função passa pela origem
- Modelo geral:
- Como é um polinômio de grau 3 com coeficiente positivo, as extremidades vão para
quando e para quando
- Como é um polinômio de grau 3 com coeficiente positivo, as extremidades vão para
Com isso, o gráfico terá um máximo em
, descerá até aproximadamente
e depois subir novamente.
Resposta
i) O único ponto crítico é (d)
.
ii) Intervalos:
- (a)
→ D - (b)
→ C - (c)
→ C - (d)
→ C - (e)
→ C - (f)
→ N/A - (g)
→ D - (h)
→ D - (i)
→ C - (j)
→ D - (k)
→ D - (l) NDA
iii) Máximos e mínimos locais:
- (f)
→ M - Todos os demais pontos → N/A
iv) O gráfico da função
tem um máximo local em
, está crescendo em
e
, e decrescendo em
. Com base nisso, o esboço mostrará uma curva que sobe até
, desce até perto de
e depois sobe novamente.