1^ a Questão Dada a função a(x)= 2 x^3-22 x^2 . Determine:
i) Quais dos pontos abaixo, é ponto crítico da função a(x), caso exista:
(a) (1,1)
(b) (5,125)
(c) (-5,-125)
(d) (0,0)
(e) (-2,8)
(f) (-3,-27)
(g) (4,-64)
(h) (3,27)
(i) (-1,-1)
(j) (2,-8)
(k) (-4,64)
(l) NDA
ii) Marque com Co intervalo onde a(x) é Crescente ou D onde a(x) é Decrescente:
(a) [] (0,1)
(b) [] (-3,0)
(c) [] (-2,0)
(d) [] (-4,0)
(e) [] (-1,0)
(f) [] (0,0)
(g) [] (0,3)
(h) [] (0,2)
(i) [] (-5,0)
(j) [ ] (0,5)
(k) [ ] (0,4)
(l) NDA
iii) Marque com M o ponto onde a(x) é de Máximo local ou m onde a(x) é de mínimo local:
(a) [] (-1,-1)
(b) [] (2,-8)
(c) [] (-5,-125)
(d) [] (3,27)
(e) [] (5,125)
(f) [ ] ( 0,0 )
(g) [] (-3,-27)
(h) [] (-2,8)
(i) [] (-4,64)
(j) [ ] (4,-64)
(k) [ ] (1,1)
(l) NDA
iv) Esboce o gráfico da função a(x), usando as informações anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função a(x) = 2x^3 - 22x^2 . O que a gente precisa fazer é:
  1. Encontrar os pontos críticos dessa função entre os pontos listados.
  2. Determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo.
  3. Identificar os pontos que são máximos ou mínimos locais.
  4. Esboçar o gráfico da função usando todas essas informações.
Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas, já que elas nos ajudam a encontrar pontos críticos e entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função a(x) . A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto x .
A função é:
a(x) = 2x^3 - 22x^2
A derivada de a(x) em relação a x é:
a'(x) = ddx(2x^3) - ddx(22x^2) = 6x^2 - 44x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Como nossa derivada a'(x) = 6x^2 - 44x é um polinômio, ela existe para todo x , então só precisamos achar onde a'(x) = 0 :
6x^2 - 44x = 0
x(6x - 44) = 0
Isso nos dá:
x = 0 ou 6x - 44 = 0 Rightarrow x = 446 = 223 approx 7,33
Então, os pontos críticos estão em x = 0 e x approx 7,33 .

Passo 4

Vamos verificar quais dos pontos listados são pontos críticos da função. Os pontos fornecidos são:
(a) (1,1)
(b) (5,125)
(c) (-5,-125)
(d) (0,0)
(e) (-2,8)
(f) (-3,-27)
(g) (4,-64)
(h) (3,27)
(i) (-1,-1)
(j) (2,-8)
(k) (-4,64)
(l) NDA
Lembrando que os pontos críticos têm x = 0 ou x approx 7,33 . Vamos verificar:
  • (0,0): x = 0 → ponto crítico ✅
  • Nenhum dos outros pontos tem x approx 7,33 ou x = 0 .
Então, apenas o ponto (d) (0,0) é ponto crítico.

Passo 5

Agora, vamos determinar onde a função a(x) está crescente ou decrescente. Para isso, analisamos o sinal da derivada a'(x) :
a'(x) = 6x^2 - 44x = 2x(3x - 22)
Encontramos os pontos críticos em x = 0 e x approx 7,33 . Vamos dividir a reta numérica nesses pontos e testar o sinal da derivada em cada intervalo:
  1. Intervalo (-infty, 0) :
    • Escolha x = -1 :
a'(-1) = 6(-1)^2 - 44(-1) = 6 + 44 = 50 > 0
  • Derivada positiva → Crescente
  1. Intervalo (0, 7,33) :
    • Escolha x = 2 :
a'(2) = 6(4) - 44(2) = 24 - 88 = -64 < 0
  • Derivada negativa → Decrescente
  1. Intervalo (7,33, +infty) :
    • Escolha x = 10 :
a'(10) = 6(100) - 44(10) = 600 - 440 = 160 > 0
  • Derivada positiva → Crescente

Passo 6

Agora, vamos marcar os intervalos:
ii) Marque com C onde a(x) é Crescente ou D onde a(x) é Decrescente:
(a) (0,1) → Dentro de (0, 7,33) D
(b) (-3,0) → Dentro de (-infty, 0) C
(c) (-2,0) → Dentro de (-infty, 0) C
(d) (-4,0) → Dentro de (-infty, 0) C
(e) (-1,0) → Dentro de (-infty, 0) C
(f) (0,0) → Ponto único → N/A
(g) (0,3) → Dentro de (0, 7,33) D
(h) (0,2) → Dentro de (0, 7,33) D
(i) (-5,0) → Dentro de (-infty, 0) C
(j) (0,5) → Dentro de (0, 7,33) D
(k) (0,4) → Dentro de (0, 7,33) D
(l) NDA

Passo 7

Agora, vamos identificar os máximos e mínimos locais nos pontos críticos. Sabemos que x = 0 é um ponto crítico. Vamos verificar se é máximo ou mínimo usando o teste da segunda derivada ou analisando o comportamento da derivada.
Analisando o comportamento:
  • Antes de x = 0 , a derivada é positiva (função crescente).
  • Depois de x = 0 , a derivada é negativa (função decrescente).
Isso significa que x = 0 é um ponto de máximo local.
iii) Marque com M onde a(x) é de Máximo local ou m onde a(x) é de mínimo local:
(a) (-1,-1) → Não é ponto crítico → N/A
(b) (2,-8) → Não é ponto crítico → N/A
(c) (-5,-125) → Não é ponto crítico → N/A
(d) (3,27) → Não é ponto crítico → N/A
(e) (5,125) → Não é ponto crítico → N/A
(f) (0,0)M
(g) (-3,-27) → Não é ponto crítico → N/A
(h) (-2,8) → Não é ponto crítico → N/A
(i) (-4,64) → Não é ponto crítico → N/A
(j) (4,-64) → Não é ponto crítico → N/A
(k) (1,1) → Não é ponto crítico → N/A
(l) NDA

Passo 8

Finalmente, para esboçar o gráfico da função a(x) = 2x^3 - 22x^2 , usamos as informações que encontramos:
  • Pontos críticos: (0,0) (máximo local)
  • Comportamento:
    • Crescente em (-infty, 0) e (7,33, +infty)
    • Decrescente em (0, 7,33)
  • Interseções:
    • A função passa pela origem (0,0)
  • Modelo geral:
    • Como é um polinômio de grau 3 com coeficiente positivo, as extremidades vão para -infty quando x to -infty e para +infty quando x to +infty
Com isso, o gráfico terá um máximo em (0,0) , descerá até aproximadamente x = 7,33 e depois subir novamente.

Resposta

i) O único ponto crítico é (d) (0,0) .
ii) Intervalos:
  • (a) (0,1)D
  • (b) (-3,0)C
  • (c) (-2,0)C
  • (d) (-4,0)C
  • (e) (-1,0)C
  • (f) (0,0)N/A
  • (g) (0,3)D
  • (h) (0,2)D
  • (i) (-5,0)C
  • (j) (0,5)D
  • (k) (0,4)D
  • (l) NDA
iii) Máximos e mínimos locais:
  • (f) (0,0)M
  • Todos os demais pontos → N/A
iv) O gráfico da função a(x) tem um máximo local em (0,0) , está crescendo em (-infty, 0) e (7,33, +infty) , e decrescendo em (0,7,33) . Com base nisso, o esboço mostrará uma curva que sobe até (0,0) , desce até perto de x = 7,33 e depois sobe novamente.

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