Verifique que yp1=3 e^2 x e yp2=x^2+3 x são, respectivamente, soluções particulares de
y^prime prime-6 y^prime+5 y=-9 e^2 x
e
y^prime prime-6 y^prime+5 y=5 x^2+3 x-16
Encontre uma solução particular de y^prime prime-6 y^prime+5 y=5 x^2+3 x-16-9 e^2 x. Qual a solução geral?

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos resolver a equação
y'' - 6y' + 5y = 5x^2 + 3x - 16 - 9e^2x
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Já temos duas soluções particulares separadas:
yp1=3e^2x para o termo -9e^2x e
yp2=x^2+3x para o termo 5x^2+3x-16.

Passo 2

Pelo princípio da superposição, a soma de duas soluções particulares de forçamentos diferentes é solução particular do somatório desses forçamentos. Logo, uma solução particular para o lado direito completo
5x^2 + 3x - 16 ;-; 9e^2x
é
yp = yp2 + yp1 = l(x^2+3xr) + 3e^2x

Passo 3

Agora encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y'' - 6y' + 5y = 0
A equação característica é
r^2 - 6r + 5 = 0,
que tem raízes
r = 1, r = 5
Portanto a solução homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^5x,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh + yp = C1 e^x + C2 e^5x + x^2 + 3x + 3e^2x

Resposta

A solução particular pode ser escolhida como
boxedyp = x^2 + 3x + 3e^2x,
e a solução geral é
boxedy(x) = C1 e^x + C2 e^5x + x^2 + 3x + 3e^2x

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