faça os gráficos f(x)=2 x^{2}-2 x-12

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função quadrática
f(x)=2x^{2}-2x-12.
O conteúdo envolve propriedades de parábolas: concavidade, vértice, raízes e intercepto com o eixo y.

Passo 2

Determine a concavidade observando o coeficiente de x^{2}. Aqui
a=2>0,
logo a parábola é côncava para cima (como um “U”).

Passo 3

Calcule o vértice usando
x_{v} = -\frac{b}{2a}
com b=-2 e a=2:
x_{v} = -\frac{-2}{2\cdot2} = \frac{2}{4} = \frac12.
Em seguida,
y_{v} = f\bigl(\tfrac12\bigr) =2\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}-2\Bigl(\tfrac12\Bigr)-12 =\tfrac12 -1 -12 =-\tfrac{25}{2}.
Logo o vértice é \bigl(\tfrac12,-\tfrac{25}{2}\bigr).

Passo 4

Encontre as raízes resolvendo
2x^{2}-2x-12=0 \;\Longrightarrow\; x^{2}-x-6=0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2} = \frac{1\pm5}{2},
resultando em
x_{1}=-2 \quad\text{e}\quad x_{2}=3.

Passo 5

Ache o intercepto com o eixo y calculando f(0):
f(0)=2\cdot0^{2}-2\cdot0-12=-12.
Isso dá o ponto (0,-12).

Passo 6

Esboce o gráfico:
  1. Desenhe eixos cartesianos x e y.
  2. Marque o vértice em \bigl(\tfrac12,-\tfrac{25}{2}\bigr).
  3. Marque as raízes em (-2,0) e (3,0).
  4. Marque o intercepto em (0,-12).
  5. Trace a parábola côncava para cima, simétrica em torno da reta x=\tfrac12.

Resposta

O gráfico de f(x)=2x^{2}-2x-12 é uma parábola côncava para cima, com:
• vértice em \bigl(\tfrac12,-\tfrac{25}{2}\bigr),
• raízes em x=-2 e x=3,
• intercepto com o eixo y em (0,-12),
e eixo de simetria x=\tfrac12.

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