Questão 7(L4-42 b): Mostre que:
em todo sistema de numeração de base b>3, o número (1331) é um cubo perfeito.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em qualquer base b>3, o número cujos dígitos são 1,3,3,1 é um cubo perfeito.
Conteúdo: representação polinomial de números em base b e uso do binômio de Newton.

Passo 2

Representando o número (1331)b em base decimal, temos
(1331)b = 1cdot b^3 + 3cdot b^2 + 3cdot b + 1

Passo 3

Pelo binômio de Newton,
(b+1)^3 = b^3 + 3b^2 + 3b + 1
Comparando com o polinômio acima, vemos que
(1331)b = (b+1)^3
Como b>3 garante que o dígito 3 é válido, concluímos que (1331)b é o cubo de b+1.

Resposta

(1331)b = (b+1)^3,
logo é um cubo perfeito.

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