Sejam E uma base ortonormal de V^3 e A, B, C pontos de E^3 tais que [A B]E=(1,0,1) e [C B]E=(0,1,2).
(1) Mostre que o triângulo A B C é retângulo.

Passo 1

O enunciado diz que E é uma base ortonormal de V^3 e que, nos eixos dessa base,
[A B]E=(1,0,1) e [C B]E=(0,1,2).
Queremos mostrar que o triângulo A B C é retângulo, ou seja, que dois dos seus lados saindo de um mesmo vértice são perpendiculares. Para isso, basta encontrar um par de vetores lado cujo produto escalar seja zero.

Passo 2

Primeiro computamos [B C]E invertendo [C B]E:
[B C]E = -[C B]E = -(0,1,2) = (0,-1,-2)
Então o vetor de A para C é
[A C]E = [A B]E + [B C]E = (1,0,1) + (0,-1,-2) = (1,-1,-1)

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar de A B com A C:
[A B]Ecdot[A C]E = (1,0,1)cdot(1,-1,-1) =1cdot1 + 0cdot(-1) + 1cdot(-1) =1 - 1 =0
Como o produto escalar é zero, temos A BperpA C, ou seja, o ângulo em A é reto.

Resposta

O triângulo A B C é retângulo em A.

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