Faça as integrações por substituição trigonométricas:
integral d traizt^2+4

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral dtraizt^2+4,
que é um caso clássico de integral envolvendo raizt^2+a^2. Para resolver, vamos usar a substituição trigonométrica
t = 2tantheta,
porque aí raizt^2+4 vira algo em função de sectheta.

Passo 2

Com t = 2tantheta segue
dt = 2sec^2theta,dtheta
e
raizt^2+4 = raiz4tan^2theta + 4 = 2raiztan^2theta + 1 = 2sectheta
Substituindo na integral obtemos
integral dtraizt^2+4 = integral 2sec^2theta,dtheta2sectheta = integral sectheta,dtheta

Passo 3

Sabemos da teoria que
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 4

Agora voltamos à variável t. Da substituição t=2tantheta temos
tantheta = t2, sectheta = raiz1+tan^2theta = raizt^2+42
Logo
sectheta + tantheta = raizt^2+42 + t2 = t + raizt^2+42

Passo 5

Portanto a primitiva fica
lnl|sectheta + tanthetar| + C = lnl|t + raizt^2+42r| + C
Como
lnl|t + raizt^2+42r| = lnl|t + raizt^2+4r| - ln 2,
o termo -ln2 pode ser absorvido em C.

Resposta

lnl(t + raizt^2+4r) + C

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