Faça as integrações por substituição trigonométricas:
integral 8 d yy^2 raiz4-y^2

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 8y^2raiz4-y^2,dy
usando substituição trigonométrica. Reconhecemos a parte raiz4-y^2, ou seja, a=2. Vamos usar
y = 2sintheta,
pois assim raiz4-y^2 = 2costheta.

Passo 2

Aplicando y = 2sintheta temos
dy = 2costheta,dtheta, raiz4-y^2 = 2costheta,
e ainda y^2 = 4sin^2theta. Substituímos na integral:

Passo 3

integral 8y^2raiz4-y^2,dy = integral 8cdot (2costheta),dtheta(4sin^2theta),(2costheta) = integral 16costheta8,sin^2theta,costheta,dtheta = integral 2,csc^2theta,dtheta

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral 2,csc^2theta,dtheta = 2l(-cotthetar) + C = -2cottheta + C

Passo 5

Volta à variável y. De y=2sintheta decorre
sintheta = y2, costheta = raiz1-sin^2theta = raiz4-y^22,
então
cottheta = costhetasintheta = raiz4-y^2/2y/2 = raiz4-y^2y
Substituindo:
-2cottheta + C = -2,raiz4-y^2y + C

Resposta

integral 8y^2raiz4-y^2,dy = -2,raiz4-y^2y + C

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