Faça o mapa de contorno da função f mostrando várias curvas de nível.
f(x, y)=2 x^{2}+4 y^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: desenhar o mapa de contorno (várias curvas de nível) da função f(x,y)=2x^{2}+4y^{2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=2x^{2}+4y^{2}.
  • Pede-se várias curvas de nível, isto é, os conjuntos \{(x,y)\mid f(x,y)=k\} para vários valores de k.

Passo 2

Definição útil (o que significa “curva de nível”):
  • Para um valor fixo k, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=k.
  • Vou aplicar isso à função dada e obter a família de equações das curvas de nível, uma para cada k\ge 0.

Passo 3

Escrever a equação genérica das curvas de nível substituindo f por k:
2x^{2}+4y^{2}=k.
Dividindo ambos os lados por k (para k>0) obtemos a forma padrão:
\frac{x^{2}}{k/2}+\frac{y^{2}}{k/4}=1.
Interpretação dessa forma:
  • Cada curva de nível é uma elipse centrada na origem (0,0).
  • Os eixos principais são os eixos x e y (não há rotação).
  • Os semieixos (meios-eixos) são
a=\sqrt{\frac{k}{2}}\quad\text{(no eixo \(x\))}, \qquad b=\sqrt{\frac{k}{4}}=\frac{\sqrt{k}}{2}\quad\text{(no eixo \(y\))}.

Passo 4

Transformação que ajuda a desenhar:
  • Faça a mudança linear
u=\sqrt{2}\,x,\qquad v=2\,y.
  • Nessa coordenada temos
f(x,y)=u^{2}+v^{2}.
  • Assim, em (u,v) cada curva de nível é simplesmente o círculo de raio \sqrt{k}:
u^{2}+v^{2}=k.
  • Conclusão prática: desenhe círculos centrados em (0,0) no plano (u,v) com raios \sqrt{k} e depois volte às coordenadas (x,y) comprimindo o eixo u por \sqrt{2} (ou seja, x=u/\sqrt{2}) e o eixo v por 2 (ou seja, y=v/2). O efeito é transformar círculos em elipses em (x,y).

Passo 5

Escolha de valores práticos de k e cálculo dos semieixos para desenhar à mão (valores numéricos arredondados para ajudar o traço):
  • Para k=0:
2x^{2}+4y^{2}=0
é só o ponto (0,0).
  • Para k=1:
a=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707,\qquad b=\dfrac{\sqrt{1}}{2}=0,5.
  • Para k=2:
a=\sqrt{\dfrac{2}{2}}=1,\qquad b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707.
  • Para k=4:
a=\sqrt{\dfrac{4}{2}}=\sqrt{2}\approx 1,414,\qquad b=\dfrac{\sqrt{4}}{2}=1.
  • Para k=8:
a=\sqrt{\dfrac{8}{2}}=\sqrt{4}=2,\qquad b=\dfrac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}\approx 1,414.
Esses pares (a,b) dizem onde marcar os pontos (\pm a,0) e (0,\pm b) para cada elipse.

Passo 6

Como desenhar passo a passo (sem calculadora):
  1. Desenhe um sistema de eixos x e y com escala uniforme (mesma unidade em x e y). Marque o centro (0,0).
  2. Para cada k escolhido (por exemplo k=0,1,2,4,8) marque os pontos (\pm a,0) e (0,\pm b) usando os valores de a e b calculados no passo anterior.
  3. Passe uma curva suave (elipse) por esses quatro pontos: será a curva de nível 2x^{2}+4y^{2}=k.
  4. Repita para cada k. As elipses serão concêntricas (não se cruzam) e irão ficando maiores quando k aumenta.
  5. Opcional (método alternativo visual): desenhe círculos de raios \sqrt{k} no plano (u,v) e aplique a transformação inversa x=u/\sqrt{2}, y=v/2 para obter as elipses em (x,y).

Passo 7

Intuição sobre espaçamento das curvas (útil na hora de desenhar densidade de curvas):
  • O gradiente é
\nabla f(x,y)=(4x,\,8y).
  • O módulo cresce com a distância ao centro; portanto, quanto mais longe da origem, maior a inclinação de f e mais próximas as curvas de nível (uma mesma variação \Delta k corresponde a um deslocamento menor).
  • Perto da origem as curvas estão mais afastadas entre si; afastando-se do centro elas ficam mais próximas.

Passo 8

Dicas finais e como apresentar:
  • Escolha 5–7 valores de k bem espaçados (ex.: k=0,1,2,4,8 ou k=0,0,5,1,2,4) para ver bem a família de elipses.
  • Rotule cada elipse com seu k correspondente (por ex. escrever ao lado: 2x^{2}+4y^{2}=1, etc.).
  • Marque os semieixos com números (use as aproximações dadas no passo 5).
  • Se quiser um mapa com tons de cor, pinte entre elipses regiões correspondentes a intervalos de k (mais escuro para k maior), isso dá uma ideia de relevo da função.

Resposta

2x^{2}+4y^{2}=0
2x^{2}+4y^{2}=1
2x^{2}+4y^{2}=2
2x^{2}+4y^{2}=4
2x^{2}+4y^{2}=8

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