Faça o mapa de contorno da função
mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
O que o enunciado pede: desenhar o mapa de contorno (várias curvas de nível) da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Pede-se várias curvas de nível, isto é, os conjuntos
para vários valores de .
Passo 2
Definição útil (o que significa “curva de nível”):
- Para um valor fixo
, a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem
- Vou aplicar isso à função dada e obter a família de equações das curvas de nível, uma para cada
.
Passo 3
Escrever a equação genérica das curvas de nível substituindo
por
:
Dividindo ambos os lados por
(para
) obtemos a forma padrão:
Interpretação dessa forma:
- Cada curva de nível é uma elipse centrada na origem
. - Os eixos principais são os eixos
e (não há rotação). - Os semieixos (meios-eixos) são
Passo 4
Transformação que ajuda a desenhar:
- Faça a mudança linear
- Nessa coordenada temos
- Assim, em
cada curva de nível é simplesmente o círculo de raio :
- Conclusão prática: desenhe círculos centrados em
no plano com raios e depois volte às coordenadas comprimindo o eixo por (ou seja, ) e o eixo por (ou seja, ). O efeito é transformar círculos em elipses em .
Passo 5
Escolha de valores práticos de
e cálculo dos semieixos para desenhar à mão (valores numéricos arredondados para ajudar o traço):
- Para
:
é só o ponto
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses pares
dizem onde marcar os pontos
e
para cada elipse.
Passo 6
Como desenhar passo a passo (sem calculadora):
- Desenhe um sistema de eixos
e com escala uniforme (mesma unidade em e ). Marque o centro . - Para cada
escolhido (por exemplo ) marque os pontos e usando os valores de e calculados no passo anterior. - Passe uma curva suave (elipse) por esses quatro pontos: será a curva de nível
. - Repita para cada
. As elipses serão concêntricas (não se cruzam) e irão ficando maiores quando aumenta. - Opcional (método alternativo visual): desenhe círculos de raios
no plano e aplique a transformação inversa , para obter as elipses em .
Passo 7
Intuição sobre espaçamento das curvas (útil na hora de desenhar densidade de curvas):
- O gradiente é
- O módulo cresce com a distância ao centro; portanto, quanto mais longe da origem, maior a inclinação de
e mais próximas as curvas de nível (uma mesma variação corresponde a um deslocamento menor). - Perto da origem as curvas estão mais afastadas entre si; afastando-se do centro elas ficam mais próximas.
Passo 8
Dicas finais e como apresentar:
- Escolha 5–7 valores de
bem espaçados (ex.: ou ) para ver bem a família de elipses. - Rotule cada elipse com seu
correspondente (por ex. escrever ao lado: , etc.). - Marque os semieixos com números (use as aproximações dadas no passo 5).
- Se quiser um mapa com tons de cor, pinte entre elipses regiões correspondentes a intervalos de
(mais escuro para maior), isso dá uma ideia de relevo da função.