Faça o mapa de contorno da função mostrando algumas curvas de nível.
Passo 1
O enunciado pede para construir o mapa de contorno (contour plot) de
ou seja, desenhar algumas curvas de nível dadas por
para diversos valores de
. Para isso, vamos (
) entender a forma de cada curva de nível e (
) mostrar um exemplo de código em Python que gera o mapa de contorno.
Passo 2
As curvas de nível são as soluções da equação
Para cada constante
obtemos uma hipérbole ou um par de retas:
- Se
, temos hipérboles com eixo transverso ao longo do eixo . - Se
, as hipérboles abrem-se ao longo do eixo . - Se
, obtemos as retas (caso degenerado).
Passo 3
Escolhendo, por exemplo, os níveis
vemos que
- Para
os ramos abrem verticalmente. - Para
os ramos abrem horizontalmente. - Para
temos as retas de inclinação .
Passo 4
Uma forma prática de visualizar tudo isso é usar Python com Matplotlib. O código abaixo cria uma malha
, calcula
e plota as curvas de nível para os valores escolhidos.
Resposta
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Define a região de plot
x \(=\) np.linspace(-\(3\), \(3\), \(400\))
y \(=\) np.linspace(-\(3\), \(3\), \(400\))
X, Y \(=\) np.meshgrid(x, y)
# Função f(x,y) \(= y^2\) - \(x^2\)
Z \(=\) Y**\(2\) - X**\(2\)
# Valores de k para as curvas de nível
levels \(=\) [-\(2\), -\(1\), \(0\), \(1\), \(2\)]
# Plot das curvas de nível
plt.figure(figsize\(=\)(\(6,6\)))
contours \(=\) plt.contour(X, Y, Z, level\(s=l\)evels, colors\(=\)'black')
plt.clabel(contours, inlin\(e=T\)rue, fontsize\(=10\))
plt.axhline(\(0\), color\(=\)'gray', linewidth\(=0.5\))
plt.axvline(\(0\), color\(=\)'gray', linewidth\(=0.5\))
plt.title('Mapa de Contorno de f(x,y)\(= y^2\) - \(x^2\)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.gca().\(set_aspect\)('equal', 'box')
plt.show()
Esse script gera o mapa de contorno com hipérboles para
e as retas
para
, exatamente o que caracteriza