Faça o mapa de contorno da função mostrando algumas curvas de nível.
f(x, y)=y^{2}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para construir o mapa de contorno (contour plot) de
f(x,y)=y^{2}-x^{2},
ou seja, desenhar algumas curvas de nível dadas por
y^{2}-x^{2}=k
para diversos valores de k. Para isso, vamos ( 1) entender a forma de cada curva de nível e ( 2) mostrar um exemplo de código em Python que gera o mapa de contorno.

Passo 2

As curvas de nível são as soluções da equação
y^{2}-x^{2}=k.
Para cada constante k\in\mathbb{R} obtemos uma hipérbole ou um par de retas:
  • Se k>0, temos hipérboles com eixo transverso ao longo do eixo y.
  • Se k<0, as hipérboles abrem-se ao longo do eixo x.
  • Se k=0, obtemos as retas y=\pm x (caso degenerado).

Passo 3

Escolhendo, por exemplo, os níveis
k\in\{-2,\,-1,\,0,\,1,\,2\},
vemos que
  • Para k=1,2 os ramos abrem verticalmente.
  • Para k=-1,-2 os ramos abrem horizontalmente.
  • Para k=0 temos as retas de inclinação \pm1.

Passo 4

Uma forma prática de visualizar tudo isso é usar Python com Matplotlib. O código abaixo cria uma malha (x,y), calcula f(x,y) e plota as curvas de nível para os valores escolhidos.

Resposta

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define a região de plot
x \(=\) np.linspace(-\(3\), \(3\), \(400\))
y \(=\) np.linspace(-\(3\), \(3\), \(400\))
X, Y \(=\) np.meshgrid(x, y)

# Função f(x,y) \(= y^2\) - \(x^2\)
Z \(=\) Y**\(2\) - X**\(2\)

# Valores de k para as curvas de nível
levels \(=\) [-\(2\), -\(1\), \(0\), \(1\), \(2\)]

# Plot das curvas de nível
plt.figure(figsize\(=\)(\(6,6\)))
contours \(=\) plt.contour(X, Y, Z, level\(s=l\)evels, colors\(=\)'black')
plt.clabel(contours, inlin\(e=T\)rue, fontsize\(=10\))
plt.axhline(\(0\), color\(=\)'gray', linewidth\(=0.5\))
plt.axvline(\(0\), color\(=\)'gray', linewidth\(=0.5\))
plt.title('Mapa de Contorno de f(x,y)\(= y^2\) - \(x^2\)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.gca().\(set_aspect\)('equal', 'box')
plt.show()
Esse script gera o mapa de contorno com hipérboles para k\neq0 e as retas y=\pm x para k=0, exatamente o que caracteriza f(x,y)=y^{2}-x^{2}.

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