1. Faça a mudança de variáveis x=v6 u e y=2 u para calcular
integral duplaD x y^3 d x d y
sendo D a regiảo cuja fronteira é definida pelas curvas x y=1, x y=3, y=2 e y=6.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a integral dupla
integral duplaD x y^3 , dx , dy
no domínio D limitado pelas curvas xy=1, xy=3, y=2 e y=6, usando a troca de variáveis x=tfracv6u e y=2u. O tópico aqui é integral dupla com mudança de variáveis. Vamos precisar reescrever a região em termos de u e v, calcular o jacobiano e transformar a integral.

Passo 2

Em termos de u,v, a curva xy=1 vira tfracv3=1, ou seja v=3, e a curva xy=3 vira v=9. As retas y=2 e y=6 dão 2u=2 (logo u=1) e 2u=6 (logo u=3). Assim o novo domínio é um retângulo com
1<= u<=3, 3<= v<=9

Passo 3

Para calcular o jacobiano, montamos
partial(x,y)partial(u,v) = -v6u^2 & 16u [6pt] 2 & 0 = -2cdot16u = -13u
Tomando o valor absoluto, fica l|Jr|=tfrac13u.]

Passo 4

A integral transformada é
integral duplaR x y^3 l|Jr| , du , dv = integralu=1^3 integralv=3^9 gl(v6u(2u)^3gr)cdot13u , dv , du
Dentro do parêntese, (2u)^3=8u^3, então
v6u,8u^3 = 8u^2 v6 = 4u^2 v3,
e multiplicando por tfrac13u
4u^2 v3cdot13u = 4u v9
Logo a integral vira
integralu=1^3 integralv=3^9 4u v9 , dv , du

Passo 5

A gente resolve primeiro em v:
integralv=3^9 4u v9 , dv = 4u9cdotv^22|3^9 = 4u9cdot81-92 = 4u9cdot36 = 16u
Em seguida em u:
integralu=1^3 16u , du = 16cdotu^22|1^3 = 8(9-1) = 64

Resposta

64

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