$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0,
y(0)=5, y^{\prime}(0)=10

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra resolver a equação diferencial
y'' - 2y' + y = 0
com as condições iniciais
y(0) = 5, y'(0)=10
Isso é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver, a gente vai usar o método do polinômio característico e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, a gente assume uma solução do tipo
y = e^rt
e substitui na equação pra achar o polinômio característico. Substituindo:
y' = r e^rt, y'' = r^2 e^rt,
então
r^2 e^rt - 2r e^rt + 1cdot e^rt = 0 Longrightarrow (r^2 -2r +1),e^rt=0
Como e^rtneq0, o que importa é
r^2 -2r +1 = 0

Passo 3

Agora resolvemos
r^2 - 2r + 1 = 0
Isso é um quadrado perfeito:
(r-1)^2 = 0 Longrightarrow r=1
é raiz dupla. Quando a raiz é dupla, a solução geral da EDO é
y(t) = (C1 + C2,t)e^rt = (C1 + C2,t)e^t

Passo 4

Falta achar C1 e C2 usando as condições iniciais.
  1. Em t=0,
y(0) = (C1 + C2cdot 0)e^0 = C1 = 5
Então C1 = 5.
  1. Vamos calcular y'(t). Temos
y(t) = (5 + C2,t)e^t
Derivando (produto):
y'(t) = (5 + C2,t)'e^t + (5 + C2,t)e^t = (C2)e^t + (5 + C2,t)e^t = (5 + C2 + C2,t)e^t
Em t=0:
y'(0) = (5 + C2 + C2cdot 0)e^0 = 5 + C2 = 10 Longrightarrow C2 = 5

Resposta

boxedy(t) = l(5 + 5tr),e^t

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