$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0,
y(0)=5, y^{\prime}(0)=10
y(0)=5, y^{\prime}(0)=10
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
Isso é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver, a gente vai usar o método do polinômio característico e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, a gente assume uma solução do tipo
e substitui na equação pra achar o polinômio característico. Substituindo:
então
Como
, o que importa é
Passo 3
Agora resolvemos
Isso é um quadrado perfeito:
é raiz dupla. Quando a raiz é dupla, a solução geral da EDO é
Passo 4
Falta achar
e
usando as condições iniciais.
- Em
,
Então
.
- Vamos calcular
. Temos
Derivando (produto):
Em
: