Lembrando da fórmula de transformada de derivadas,
Lf^(n)(t)=s^n Lf(t)-s^n-1 f(0)-s^n-2 f^prime(0)-cdots-f^n-1(0),
calcule
(a) Lk t cos k t+sin k t (Sugestão: perceba que k t cos k t+sin k t é a derivada de t sin k t )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de k t cos(k t)+sin(k t). O conteúdo é a propriedade da transformada de derivadas, e vamos precisar usar que Lf'(t)=s,Lf(t)-f(0).

Passo 2

Percebemos que k t cos(k t)+sin(k t) é exatamente a derivada de f(t)=tsin(k t), pois
ddtl(tsin(k t)r)=1cdotsin(k t)+tcdot kcos(k t)=sin(k t)+k tcos(k t)
Aplicando a propriedade de derivadas: como f(0)=0, temos
Lf'(t)=s,Lf(t)-f(0)=s,Ltsin(k t)

Passo 3

Falta então calcular F(s)=Ltsin(k t). Usando a fórmula Lt,g(t)=-tfracdds[Lg(t)] e sabendo que Lsin(k t)=tfracks^2+k^2, obtemos
F(s)=-ddsl(ks^2+k^2r)=2k s(s^2+k^2)^2

Passo 4

Finalmente, multiplicando por s:
Lk tcos(k t)+sin(k t)=s,F(s)=scdot2k s(s^2+k^2)^2=2k s^2(s^2+k^2)^2

Resposta

2k s^2(s^2+k^2)^2

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