Faça o que se pede:
(a) y^{\prime}, se x \cdot \ln (y)+y^{3}=x^{4}.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre y' (a derivada de y em relação a x) a partir da relação implícita
x\cdot \ln(y) + y^{3} = x^{4}.
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona x e y; aqui y é uma função de x, ou seja y=y(x).
  • É necessário obter y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Note que \ln(y) exige y>0; portanto a expressão só faz sentido real quando y>0.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Para isso usaremos duas regras básicas:
  • Regra do produto: se u=u(x) e v=v(x) então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Aqui será usada para derivar x\cdot \ln(y) (com u=x e v=\ln(y)).
  • Regra da cadeia: se g é função de y e y é função de x, então
\frac{d}{dx}g(y(x))=g'(y)\cdot y'(x).
Aplicaremos isto, por exemplo, em \ln(y(x)) e em y^{3}.
Vou explicar rapidinho como usar a regra da cadeia em \ln(y(x)): a derivada de \ln(z) em relação a z é \dfrac{1}{z}. Como z=y(x), pela cadeia
\frac{d}{dx}\ln(y)=\frac{1}{y}\cdot y'.

Passo 3

Agora aplico a diferenciação termo a termo na equação
x\cdot \ln(y) + y^{3} = x^{4}.
Derivando o primeiro termo x\cdot \ln(y) pela regra do produto:
  • derivada de x é 1, multiplicada por \ln(y) \ln(y);
  • mais x vezes a derivada de \ln(y), que é \dfrac{1}{y}y'.
    Portanto
\frac{d}{dx}\big(x\ln(y)\big)=\ln(y)+x\cdot\frac{1}{y}\,y'.

Passo 4

A derivada do segundo termo y^{3} usa a regra da cadeia (potência): derivada de t^{3} em relação a t é 3t^{2}; com t=y(x) obtemos
\frac{d}{dx}\big(y^{3}\big)=3y^{2}\,y'.
A derivada do lado direito x^{4} é direta (regra da potência):
\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=4x^{3}.

Passo 5

Juntando tudo, a equação das derivadas fica
\ln(y)+x\cdot\frac{1}{y}\,y' + 3y^{2}\,y' = 4x^{3}.

Passo 6

Agora isolo os termos que contêm y'. Agrupando:
x\cdot\frac{1}{y}\,y' + 3y^{2}\,y' = 4x^{3} - \ln(y).
Fatorando y' do lado esquerdo:
y'\left(\frac{x}{y} + 3y^{2}\right) = 4x^{3} - \ln(y).

Passo 7

Finalmente, resolvo para y' dividindo pelo fator que multiplica y'. Obtenho duas formas equivalentes; qualquer uma delas vale como resposta limpa:
Forma direta:
y' = \frac{4x^{3} - \ln(y)}{\dfrac{x}{y} + 3y^{2}}.
Forma simplificada multiplicando numerador e denominador por y:
y' = \frac{y\big(4x^{3} - \ln(y)\big)}{x + 3y^{3}}.
Lembrete final: esta derivada assume y>0 (para que \ln(y) esteja definida) e que o denominador x+3y^{3} (ou \dfrac{x}{y}+3y^{2}) não seja zero no ponto considerado.

Resposta

y'=\frac{4x^{3}-\ln(y)}{\dfrac{x}{y}+3y^{2}}=\frac{y\big(4x^{3}-\ln(y)\big)}{x+3y^{3}}.

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