Faça o que se pede:
(a)
, se
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre
(a derivada de
em relação a
) a partir da relação implícita
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona
e ; aqui é uma função de , ou seja . - É necessário obter
. - Note que
exige ; portanto a expressão só faz sentido real quando .
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Para isso usaremos duas regras básicas:
- Regra do produto: se
e então
Aqui será usada para derivar
(com
e
).
- Regra da cadeia: se
é função de e é função de , então
Aplicaremos isto, por exemplo, em
e em
.
Vou explicar rapidinho como usar a regra da cadeia em
: a derivada de
em relação a
é
. Como
, pela cadeia
Passo 3
Agora aplico a diferenciação termo a termo na equação
Derivando o primeiro termo
pela regra do produto:
- derivada de
é , multiplicada por dá ; - mais
vezes a derivada de , que é .
Portanto
Passo 4
A derivada do segundo termo
usa a regra da cadeia (potência): derivada de
em relação a
é
; com
obtemos
A derivada do lado direito
é direta (regra da potência):
Passo 5
Juntando tudo, a equação das derivadas fica
Passo 6
Agora isolo os termos que contêm
. Agrupando:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 7
Finalmente, resolvo para
dividindo pelo fator que multiplica
. Obtenho duas formas equivalentes; qualquer uma delas vale como resposta limpa:
Forma direta:
Forma simplificada multiplicando numerador e denominador por
:
Lembrete final: esta derivada assume
(para que
esteja definida) e que o denominador
(ou
) não seja zero no ponto considerado.