Faça o que se pede em cada item abaixo.
Um espião observa um foguete por telescópio com o objetivo de determinar sua velocidade. O foguete sobe verticalmente a partir de uma base de lançamento localizada a 10 km . Num certo momento, os instrumentos do espião mostram que o ângulo entre o telescópio e o nível do chão é igual a \pi / 3 e está variando a uma taxa de 0,5 \mathrm{rad} / \mathrm{min}. Qual é a velocidade do foguete naquele momento?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede:
  • A base de lançamento fica a uma distância horizontal de 10 km do espião. (Peguei esse número do enunciado.)
  • O foguete sobe verticalmente; seja y(t) a altura do foguete em km no instante t.
  • Em certo instante o ângulo entre o telescópio e o nível do chão é \theta=\pi/3. (Peguei esse valor do enunciado.)
  • Nesse mesmo instante o ângulo está variando à taxa \dfrac{d\theta}{dt}=0,5\\ \text{rad/min}. (Peguei esse valor do enunciado.)
  • O que se pede: a velocidade vertical do foguete naquele instante, isto é \dfrac{dy}{dt} (em km/min, ou outra unidade conveniente).

Passo 2

Desenho mental e relação trigonométrica básica:
  • Imagine um triângulo retângulo formado pelo espião, a base de lançamento e o foguete. A hipotenusa não importa; o cateto horizontal (adjacente ao ângulo \theta) tem comprimento fixo 10 km e o cateto vertical (oposto) tem comprimento y(t) km.
  • Pela definição da tangente em um triângulo retângulo, temos a relação
\tan(\theta(t))=\frac{y(t)}{10}.
Explicando devagar: \tan de um ângulo é “cateto oposto dividido pelo cateto adjacente”; aqui o oposto é a altura y e o adjacente é a distância horizontal 10.

Passo 3

Vamos diferenciar essa relação em relação ao tempo t. Antes, uma mini-aula sobre derivadas que vamos usar:
  • Se u=u(t) é função de t, a derivada de \tan(u) é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\bigl(\tan(u(t))\bigr)=\operatorname{sec}^2(u(t))\cdot \frac{du}{dt},
onde \operatorname{sec}(u)=\dfrac{1}{\cos(u)} e \operatorname{sec}^2(u)=(\operatorname{sec} u)^2.
  • Também, a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função: \dfrac{d}{dt}\bigl(\tfrac{1}{10}y(t)\bigr)=\tfrac{1}{10}\dfrac{dy}{dt}.
Agora aplico tudo à relação \tan(\theta(t))=\dfrac{y(t)}{10}. Diferenciando ambos os lados em relação a t obtemos
\operatorname{sec}^2(\theta(t))\cdot \frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{10}\cdot \frac{dy}{dt}.
Expliquei: à esquerda usei a derivada de \tan(\theta(t)) com a regra da cadeia; à direita a derivada de y(t)/10.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dt} da fórmula do passo anterior:
\frac{dy}{dt}=10\;\operatorname{sec}^2(\theta(t))\;\frac{d\theta}{dt}.
Esta é a fórmula geral que relaciona a velocidade vertical do foguete com a taxa de variação do ângulo observado. Interpretação prática: quanto maior \operatorname{sec}^2(\theta) e quanto maior \dfrac{d\theta}{dt}, mais rápido o foguete sobe.

Passo 5

Agora substituímos os valores dados naquele instante: \theta=\pi/3 e \dfrac{d\theta}{dt}=0,5\\ \text{rad/min}.
  • Primeiro calcule \operatorname{sec}^2(\pi/3). Sabendo que \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2}, temos \operatorname{sec}(\pi/3)=\dfrac{1}{\cos(\pi/3)}=2, logo
\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2^2=4.
  • Usando a fórmula do passo 4:
\frac{dy}{dt}=10\cdot 4 \cdot 0{,}5.
Fiz as substituições passo a passo: 10 (km) vezes \operatorname{sec}^2(\pi/3)=4 vezes \dfrac{d\theta}{dt}=0{,}5\\ \text{rad/min}.

Passo 6

Cálculo final (a conta aritmética) e unidade:
10\cdot 4 \cdot 0{,}5 = 20.
A unidade original de y era km e o tempo está em minutos, logo a velocidade é 20\\ \text{km/min}.
Se quiser uma interpretação em unidades mais familiares: 20\\ \text{km/min}=20\times 60=1200\\ \text{km/h} e, em metros por segundo,
20\\ \text{km/min}=\frac{20\times 1000}{60}\\ \text{m/s}\approx 333{,}33\\ \text{m/s}.

Resposta

20\\ \text{km/min} (equivalente a 1200\\ \text{km/h} \approx 333{,}33\\ \text{m/s})

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