Faça o que se pede em cada item abaixo.
Um espião observa um foguete por telescópio com o objetivo de determinar sua velocidade. O foguete sobe verticalmente a partir de uma base de lançamento localizada a 10 km . Num certo momento, os instrumentos do espião mostram que o ângulo entre o telescópio e o nível do chão é igual a
e está variando a uma taxa de
. Qual é a velocidade do foguete naquele momento?
Um espião observa um foguete por telescópio com o objetivo de determinar sua velocidade. O foguete sobe verticalmente a partir de uma base de lançamento localizada a 10 km . Num certo momento, os instrumentos do espião mostram que o ângulo entre o telescópio e o nível do chão é igual a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede:
- A base de lançamento fica a uma distância horizontal de
km do espião. (Peguei esse número do enunciado.) - O foguete sobe verticalmente; seja
a altura do foguete em km no instante . - Em certo instante o ângulo entre o telescópio e o nível do chão é
. (Peguei esse valor do enunciado.) - Nesse mesmo instante o ângulo está variando à taxa
. (Peguei esse valor do enunciado.) - O que se pede: a velocidade vertical do foguete naquele instante, isto é
(em km/min, ou outra unidade conveniente).
Passo 2
Desenho mental e relação trigonométrica básica:
- Imagine um triângulo retângulo formado pelo espião, a base de lançamento e o foguete. A hipotenusa não importa; o cateto horizontal (adjacente ao ângulo
) tem comprimento fixo km e o cateto vertical (oposto) tem comprimento km. - Pela definição da tangente em um triângulo retângulo, temos a relação
Explicando devagar:
de um ângulo é “cateto oposto dividido pelo cateto adjacente”; aqui o oposto é a altura
e o adjacente é a distância horizontal
.
Passo 3
Vamos diferenciar essa relação em relação ao tempo
. Antes, uma mini-aula sobre derivadas que vamos usar:
- Se
é função de , a derivada de é dada pela regra da cadeia:
onde
e
.
- Também, a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função:
.
Agora aplico tudo à relação
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Expliquei: à esquerda usei a derivada de
com a regra da cadeia; à direita a derivada de
.
Passo 4
Isolando
da fórmula do passo anterior:
Esta é a fórmula geral que relaciona a velocidade vertical do foguete com a taxa de variação do ângulo observado. Interpretação prática: quanto maior
e quanto maior
, mais rápido o foguete sobe.
Passo 5
Agora substituímos os valores dados naquele instante:
e
.
- Primeiro calcule
. Sabendo que , temos , logo
- Usando a fórmula do passo 4:
Fiz as substituições passo a passo:
(km) vezes
vezes
.
Passo 6
Cálculo final (a conta aritmética) e unidade:
A unidade original de
era km e o tempo está em minutos, logo a velocidade é
.
Se quiser uma interpretação em unidades mais familiares:
e, em metros por segundo,