1. Faça o que se pede em cada item a seguir:
    a) Calcule integral tan ^3 x d x.
    b) Calcule integral sec ^3 x d x.
    c) Utilizando o processo feito nos itens anteriores, mostre que para todo n in N com n >= 2, as seguintes expressões são válidas
integral tan ^n x d x=t g^n-1 xn-1-integral t g^n-2 x d x
e
integral sec ^n x d x=sec ^n-2 x tan xn-1+n-2n-1 integral sec ^n-2 x d x

Passo 1

O enunciado nos pede três coisas: calcular integral tan^3x,dx, calcular integral sec^3x,dx e, a partir desses casos, mostrar as fórmulas de redução para integral tan^nx,dx e integral sec^nx,dx quando ninN, n>=2. Vamos usar substituição (no caso da tangente) e integração por partes (no caso da secante) e depois generalizar.

Passo 2

Calcular integral tan^3x,dx. Escrevemos
tan^3x = tan xl(sec^2x -1r)
Então
integral tan^3x,dx =integral tan x,sec^2x,dx ;-;integral tan x,dx
Para o primeiro termo use u=tan xRightarrow du=sec^2x,dx, dando
integral tan x,sec^2x,dx =integral u,du =u^22 =tan^2x2
Para o segundo, integral tan x,dx=-lnlvertcos xrvert. Logo
integral tan^3x,dx =tan^2x2 +lnlvertcos xrvert + C

Passo 3

Calcular integral sec^3x,dx. Usamos integra\c{c}~ao por partes escolhendo
u=sec x, dv=sec^2x,dx ;Longrightarrow; du=sec xtan x,dx, v=tan x
Ent~ao
integral sec^3x,dx =sec xtan x -integral tan xl(sec xtan xr),dx =sec xtan x -integral sec x,tan^2x,dx
Como tan^2x=sec^2x-1, segue
integral sec^3x,dx =sec xtan x -integral sec^3x,dx +integral sec x,dx
Reagrupando,
2integral sec^3x,dx =sec xtan x +integral sec x,dx Longrightarrow integral sec^3x,dx =12sec xtan x +12integral sec x,dx
E sabemos integral sec x,dx=lnlvertsec x+tan xrvert, da’i
integral sec^3x,dx =12l(sec xtan x +lnlvertsec x+tan xrvertr) + C

Passo 4

Derivar a fórmula de redução para integral tan^nx,dx. Para n>=2,
integral tan^nx,dx =integral tan^n-2x,tan^2x,dx =integral tan^n-2xl(sec^2x-1r),dx =integral tan^n-2x,sec^2x,dx -integral tan^n-2x,dx
Mas notamos que
ddxl(tan^,n-1xr) =(n-1)tan^n-2x,sec^2x,
logo
integral tan^n-2x,sec^2x,dx =tan^n-1xn-1
Fica então
integral tan^nx,dx =tan^n-1xn-1 -integral tan^n-2x,dx

Passo 5

Derivar a fórmula de redução para integral sec^nx,dx. Para n>=2, façamos partes com
u=sec^,n-2x, dv=sec^2x,dx ;Longrightarrow; du=(n-2)sec^n-2xtan x,dx, v=tan x
Temos
integral sec^nx,dx =integral sec^n-2x,sec^2x,dx =sec^n-2xtan x -integral tan x,(n-2)sec^n-2xtan x,dx
=sec^n-2xtan x -(n-2)integral sec^n-2x,tan^2x,dx
Usando tan^2x=sec^2x-1 obtemos
integral sec^nx,dx =sec^n-2xtan x -(n-2)integral sec^nx,dx +(n-2)integral sec^n-2x,dx
Reagrupando,
(n-1)integral sec^nx,dx =sec^n-2xtan x +(n-2)integral sec^n-2x,dx
Longrightarrow integral sec^nx,dx =sec^n-2xtan xn-1 +n-2n-1integral sec^n-2x,dx

Resposta

a) integral tan^3x,dx =tan^2x2 +lnlvertcos xrvert + C
b) integral sec^3x,dx =12l(sec xtan x +lnlvertsec x+tan xrvertr) + C
c) Para todo ninN, n>=2, valem as fórmulas de redução:
integral tan^nx,dx =tan^,n-1xn-1 -integral tan^,n-2x,dx,
integral sec^nx,dx =sec^,n-2x,tan xn-1 +n-2n-1integral sec^,n-2x,dx

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