Faça o que se pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
M ostre que: lim x 1 2 x^3-x^2-4 x+33 x^3-2 x^2-5 x+4=57

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função racional quando x se aproxima de 1, sem usar a regra de L’Hôpital. O conteúdo é limite de tipo indeterminado $0/0$ e vamos precisar usar fatoração de polinômios para cancelar o fator que causa a indeterminação.

Passo 2

Fazendo a substituição direta em $x=1$ vemos que o numerador $2,1^3 - 1^2 -4,1 +3=0$ e o denominador $3,1^3 -2,1^2 -5,1 +4=0$. Logo temos um caso indeterminado $0/0$. Para resolver, vamos fatorar numerador e denominador extraindo o fator $x-1$, usando o teorema do resto.

Passo 3

Como $x=1$ é raiz do numerador $2x^3 - x^2 -4x +3$, dividimos esse polinômio por $x-1$ (por divisão sintética ou polinomial):
x=1
Em seguida fatoramos o quadrático usando fórmula ou identificando raízes ($Δ=1+24=25$, raízes em $x=1$ e $x=-3/2$):
2x^3 - x^2 -4x +3
Portanto
x-1

Passo 4

Fatoramos o denominador da mesma forma, já que $x=1$ também anula $3x^3 -2x^2 -5x +4$. Dividindo por $x-1$ e fatorando o quadrático ($Δ=1+48=49$, raízes em $x=1$ e $x=-4/3$):
x=1

Passo 5

Agora a função original se escreve, para $x \neq 1$,
$$
\frac{2x^3 - x^2 -4x +3}{3x^3 -2x^2 -5x +4} = \frac{(x-1)2,(2x+3)}{(x-1)2,(3x+4)} = \frac{2x+3}{3x+4}.
$$
Como $\frac{2x+3}{3x+4}$ é contínua em $x=1$, o limite é só avaliar em $x=1$.

Passo 6

Substituindo $x=1$ em $\frac{2x+3}{3x+4}$ obtemos
x=1

Resposta

\frac{5}{7}

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