Resolva as seguintes E.D.O’s usando separação de variáveis (verifique que de fato são separáveis);
(1) d y / d x=3 y sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx = 3,y,sin(x)
usando o método de separação de variáveis. Vamos primeiro verificar que ela é separável e depois integrar cada lado.

Passo 2

Como o lado direito é produto de uma função só de y por uma função só de x, podemos separar as variáveis:
1y,dy = 3,sin(x),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 3,sin(x),dx

Passo 4

Calculando as integrais:
integral 1y,dy = lnl|yr|, integral 3,sin(x),dx = -3cos(x) + C,
logo obtemos
lnl|yr| = -3cos(x) + C

Passo 5

Para isolar y, aplicamos exponencial em ambos os lados:
l|yr| = e^-3cos(x) + C = C1,e^-3cos(x),
onde C1=e^C>0. Absorvendo o sinal numa constante genérica CinR, concluímos
y(x) = C,e^-3cos(x)

Resposta

y(x) = C,e^-3cos(x),
com C constante arbitrária real.

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