Faça o que se pede:
O conjunto solução desse sistema é um subespaço vetorial do R^5 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos pergunta se o conjunto solução de um sistema de equações é um subespaço vetorial do R^5. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições necessárias para que um conjunto seja considerado assim.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de R^5 é um conjunto de vetores que satisfaz três condições importantes:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0, 0, 0) deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto solução do sistema. Se o sistema for homogêneo, ou seja, todas as equações tiverem o termo constante igual a zero, então o vetor zero estará no conjunto solução automaticamente, atendendo à primeira condição.

Passo 4

Além disso, em sistemas homogêneos, a soma de duas soluções também será uma solução, e qualquer múltiplo de uma solução também será uma solução. Isso significa que o conjunto solução será fechado sob adição e multiplicação por escalar, atendendo às segunda e terceira condições para ser um subespaço vetorial.

Passo 5

Por outro lado, se o sistema não for homogêneo (ou seja, tiver termos constantes diferentes de zero), o vetor zero pode não estar no conjunto solução, e as demais condições também podem não ser satisfeitas. Assim, o conjunto solução não seria um subespaço vetorial.

Resposta

Sim, o conjunto solução desse sistema é um subespaço vetorial de R^5, desde que o sistema seja homogêneo, ou seja, todas as equações tenham termos constantes iguais a zero.

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