Faça o que se pede:
O conjunto solução desse sistema é um subespaço vetorial do
? Justifique.
O conjunto solução desse sistema é um subespaço vetorial do
Passo 1
O enunciado nos pergunta se o conjunto solução de um sistema de equações é um subespaço vetorial do
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições necessárias para que um conjunto seja considerado assim.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
é um conjunto de vetores que satisfaz três condições importantes:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto solução do sistema. Se o sistema for homogêneo, ou seja, todas as equações tiverem o termo constante igual a zero, então o vetor zero estará no conjunto solução automaticamente, atendendo à primeira condição.
Passo 4
Além disso, em sistemas homogêneos, a soma de duas soluções também será uma solução, e qualquer múltiplo de uma solução também será uma solução. Isso significa que o conjunto solução será fechado sob adição e multiplicação por escalar, atendendo às segunda e terceira condições para ser um subespaço vetorial.
Passo 5
Por outro lado, se o sistema não for homogêneo (ou seja, tiver termos constantes diferentes de zero), o vetor zero pode não estar no conjunto solução, e as demais condições também podem não ser satisfeitas. Assim, o conjunto solução não seria um subespaço vetorial.
Resposta
Sim, o conjunto solução desse sistema é um subespaço vetorial de
, desde que o sistema seja homogêneo, ou seja, todas as equações tenham termos constantes iguais a zero.