Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
O subconjunto de
cuja a terceira coordenada dos vetores é o quadrado da primeira mais a segunda é um subespaço vetorial de
.
O subconjunto de
Passo 1
Resumindo o enunciado, definimos o conjunto
A pergunta é se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos verificar três propriedades:
-
contém o vetor zero; -
é fechado sob soma de vetores; -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a presença do vetor zero: se
então
logo
. Portanto a primeira condição (vetor zero) está OK.
Passo 3
Agora testamos o fechamento sob adição. Tomemos
Em cada caso vale
, pois
logo
. Mas
e para
estar em
precisaríamos
o que é falso. Assim
, mostrando que
não é fechado em relação à soma.
Resposta
A afirmativa é falsa. O conjunto não é um subespaço vetorial de
, pois falha na propriedade de fechamento sob adição (vide contra-exemplo acima).