Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
O subconjunto de R^3 cuja a terceira coordenada dos vetores é o quadrado da primeira mais a segunda é um subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

Resumindo o enunciado, definimos o conjunto
S = (x,y,z)in R^3 mid z = x^2 + y
A pergunta é se S é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, precisamos verificar três propriedades:
  1. S contém o vetor zero;
  2. S é fechado sob soma de vetores;
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero: se (x,y,z)=(0,0,0) então
z = 0^2 + 0 = 0,
logo (0,0,0)in S. Portanto a primeira condição (vetor zero) está OK.

Passo 3

Agora testamos o fechamento sob adição. Tomemos
v1 = (1,0,1), v2 = (2,0,4)
Em cada caso vale z = x^2 + y, pois
1 = 1^2+0, 4 = 2^2+0,
logo v1,v2in S. Mas
v1 + v2 = (3,0,5)
e para (3,0,5) estar em S precisaríamos
5 = 3^2 + 0 = 9,
o que é falso. Assim v1+v2notin S, mostrando que S não é fechado em relação à soma.

Resposta

A afirmativa é falsa. O conjunto não é um subespaço vetorial de R^3, pois falha na propriedade de fechamento sob adição (vide contra-exemplo acima).

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