Faça o que se pede:
Considere uma reação química genérica em um sistema fechado, mantido a temperatura ( T ) e pressão (P) constantes: \mathrm{aA}+\mathrm{bB} \rightleftharpoons \mathrm{cC}+\mathrm{dD}. Escreva a condição fundamental para que esta reação atinja o equilíbrio químico, expressa em termos dos potenciais químicos \left(\mu_{i}\right) dos reagentes e produtos?

Passo 1

O enunciado pede: escrever a condição fundamental para que a reação
\mathrm{aA}+\mathrm{bB} \rightleftharpoons \mathrm{cC}+\mathrm{dD}
atinga o equilíbrio químico, expressa em termos dos potenciais químicos \mu_{i} dos reagentes e produtos.
Informações dadas: sistema fechado, temperatura (T) e pressão (P) constantes; coeficientes estequiométricos \mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{d}.
Pergunta explícita: qual é a relação entre os potenciais químicos \mu_{A},\mu_{B},\mu_{C},\mu_{D} que caracteriza o equilíbrio?

Passo 2

O que é o potencial químico \mu_{i}?
Expliquei de forma simples: \mu_{i} é a variação do potencial termodinâmico (aqui, energia livre de Gibbs G) quando você adiciona uma pequena quantidade da espécie i ao sistema, mantendo T e P e as quantidades das outras espécies constantes. Em fórmula:
\mu_{i}=\left(\frac{\partial G}{\partial n_{i}}\right)_{T,P,n_{j\ne i}}.
Ou seja, \mu_{i} é o “preço” em energia livre para ter mais uma molécula/mol do componente i.

Passo 3

Escrevendo a diferencial total de G (energia livre de Gibbs) para uma mistura:
dG=-S\,dT+V\,dP+\sum_{i}\mu_{i}\,dn_{i}.
Como o sistema é mantido a T e P constantes, temos dT=0 e dP=0. Logo a variação de G reduz-se a
dG=\sum_{i}\mu_{i}\,dn_{i}.
Expliquei: dn_{i} é a variação do número de mols da espécie i.

Passo 4

Introduzo a extensão de reação \xi (uma variável que mede quanto a reação progrediu). A variação dos números de mols das espécies está relacionada com d\xi pelas números estequiométricos (ou números estequiométricos de reação) \nu_{i}:
dn_{i}=\nu_{i}\,d\xi.
Para a reação escrita \mathrm{aA}+\mathrm{bB}\rightleftharpoons\mathrm{cC}+\mathrm{dD} usamos a convenção usual:
\nu_{A}=-a,\qquad \nu_{B}=-b,\qquad \nu_{C}=+c,\qquad \nu_{D}=+d.
Expliquei por que: reagentes diminuem quando a reação avança (sinal negativo) e produtos aumentam (sinal positivo).

Passo 5

Substituo dn_{i}=\nu_{i}\,d\xi em dG=\sum_{i}\mu_{i}\,dn_{i}:
dG=\sum_{i}\mu_{i}\,\nu_{i}\,d\xi=\left(\sum_{i}\nu_{i}\mu_{i}\right)d\xi.
Portanto a derivada de G em relação à extensão de reação é
\frac{dG}{d\xi}=\sum_{i}\nu_{i}\mu_{i}.
Interpretação física: \frac{dG}{d\xi} é a variação infinitesimal da energia livre quando a reação avança uma quantidade infinitesimal d\xi.

Passo 6

Condição de equilíbrio para um sistema fechado a T e P constantes: G atinge um mínimo estável em equilíbrio (ou, mais diretamente, não há variação espontânea de G ao variar \xi). Então
\left(\frac{dG}{d\xi}\right)_{\!T,P}=0.
Usando a expressão anterior, isso dá a condição geral
\sum_{i}\nu_{i}\mu_{i}=0.

Passo 7

Escrevendo explicitamente para os coeficientes da reação:
\nu_{C}\mu_{C}+\nu_{D}\mu_{D}+\nu_{A}\mu_{A}+\nu_{B}\mu_{B}=0,
ou substituindo \nu pelos valores dados:
c\mu_{C}+d\mu_{D}-a\mu_{A}-b\mu_{B}=0.
Reorganizando, uma forma intuitiva é:
a\mu_{A}+b\mu_{B}=c\mu_{C}+d\mu_{D}.
Expliquei: isso diz que, no equilíbrio, a soma dos potenciais químicos dos reagentes (ponderada pelos coeficientes estequiométricos) iguala a soma dos potenciais químicos dos produtos (ponderada).

Passo 8

Comentário curto de reforço (pra você levar pra prova): outra notação comum define a variação da energia livre de reação
\Delta_{r}G=\sum_{i}\nu_{i}\mu_{i},
e então a condição de equilíbrio é simplesmente \Delta_{r}G=0. Sempre que vir \Delta_{r}G<0 a reação avança no sentido direto, e se \Delta_{r}G>0 avança no sentido inverso, até chegar a \Delta_{r}G=0.

Resposta

a\mu_{A}+b\mu_{B}=c\mu_{C}+d\mu_{D}

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