Faça o que se pede:
Em um sistema fechado contendo duas fases ( \alpha e \beta ) em equilíbrio termodinâmico a temperatura ( T ) e pressão (P) constantes, um componente ’ i ’ está presente em ambas as fases. Escreva a condição de equilíbrio para o componente ’ i ’ entre as duas fases? Agora, imagine uma situação em que a fase \beta apresente o potencial químico maior que a fase \alpha. De forma espontânea, para qual fase o componente ’ i ’ irá fluir até reestabelecer o equilíbrio material?

Passo 1

O enunciado dá um sistema fechado com duas fases, \alpha e \beta, em equilíbrio térmico (mesma temperatura T) e mecânico (mesma pressão P) constantes. Um componente i está presente em ambas as fases. As perguntas são:
  1. Escrever a condição de equilíbrio para o componente i entre as duas fases.
  2. Se a fase \beta apresentar potencial químico maior que a fase \alpha (isto é, \mu_i^\beta > \mu_i^\alpha), para qual fase o componente i irá fluir espontaneamente até restabelecer o equilíbrio material?
Informações relevantes dadas:
  • Sistema fechado (só há troca interna entre fases, sem troca com o exterior).
  • T e P constantes.
  • Componente i presente em \alpha e \beta.
  • Foi dada a hipótese num segundo item: \mu_i^\beta > \mu_i^\alpha.

Passo 2

Conceito-chave: potencial químico. Vou explicar o que é e como ele aparece nas equações.
  • O potencial químico de i numa fase (denoto por \mu_i) é a energia livre parcial associada a adicionar uma pequena quantidade de i àquela fase, mantendo T, P e as demais quantidades apropriadas constantes. Em palavras simples, \mu_i mede a “tendência” ou “força” que i tem para sair/entrar daquela fase.
  • Unidade: energia por quantidade de substância (por ex., J·mol ^{-1}).
  • Matemáticamente, quando T e P são fixos, a energia termodinâmica relevante é a energia livre de Gibbs G. Para um sistema com várias espécies,
dG = \sum_j \mu_j\, dN_j
onde N_j é o número de mols da espécie j e \mu_j o respectivo potencial químico. Aqui estamos interessados só no componente i, então veremos apenas os termos com \mu_i.

Passo 3

Derivação da condição de equilíbrio a partir da minimização de G (passo a passo, sem pular etapas).
  • Em condições de T e P constantes, o estado de equilíbrio é o que minimiza a energia livre de Gibbs G.
  • Imagine uma pequena transferência infinitesimal dn de mols do componente i que sai da fase \beta e entra na fase \alpha. Defina dn como a variação positiva do número de mols em \alpha:
    • dN_i^\alpha = +dn
    • dN_i^\beta = -dn
  • Todas as outras quantidades mantidas constantes. A variação total de G devido a essa transferência é, usando a expressão diferencial de G,
dG = \mu_i^\alpha\, dN_i^\alpha + \mu_i^\beta\, dN_i^\beta.
Substituindo dN_i^\alpha=dn e dN_i^\beta=-dn,
dG = \mu_i^\alpha\, dn + \mu_i^\beta\, (-dn) = (\mu_i^\alpha - \mu_i^\beta)\, dn.

Passo 4

Condição de equilíbrio a partir da expressão de dG.
  • No equilíbrio, não há direção infinitesimal de transferência que reduza G, logo para qualquer pequeño dn permitido devemos ter dG=0.
  • Da expressão anterior, para que dG=0 para variações dn arbitrárias, é necessário e suficiente que
\mu_i^\alpha = \mu_i^\beta.
  • Essa é a condição de equilíbrio material (ou de difusão/migração) para o componente i entre as duas fases, quando T e P são constantes.

Passo 5

Interpretação física da igualdade dos potenciais químicos (didática e intuitiva).
  • Igualar \mu significa que i não tem “tendência líquida” para migrar de uma fase para outra: se \mu_i^\alpha=\mu_i^\beta, pequenas transferências não mudam G (ordem linear) e portanto não há fluxo espontâneo.
  • Se houver diferença, o sistema pode diminuir G através de transferência. A direção que reduz G é a espontânea.

Passo 6

Aplicação ao caso \mu_i^\beta > \mu_i^\alpha: cálculo do sinal e conclusão.
  • Voltemos à expressão
dG = (\mu_i^\alpha - \mu_i^\beta)\, dn,
com dn sendo a variação dos mols em \alpha (positiva se quantidade vai para \alpha).
  • Se \mu_i^\beta > \mu_i^\alpha, então \mu_i^\alpha - \mu_i^\beta < 0.
  • Para uma transferência infinitesimal de \beta para \alpha temos dn>0 (porque N_i^\alpha aumenta). Então o produto (\mu_i^\alpha - \mu_i^\beta)\, dn é negativo, ou seja dG<0. Isso significa que a transferência de \beta para \alpha reduz G — é espontânea.
  • Em contraste, transferir de \alpha para \beta corresponderia a dn<0; com \mu_i^\beta > \mu_i^\alpha isso dá dG>0, processo não espontâneo nessa direção.

Passo 7

Exemplo ilustrativo rápido (para fixar a intuição).
  • Para soluções ideais, o potencial químico depende da fração molar x_i pela lei
\mu_i = \mu_i^\circ + RT\ln x_i,
onde \mu_i^\circ é uma referência, R a constante dos gases e T a temperatura. Se em \beta a fração molar de i for maior, então \ln x_i^\beta maior e \mu_i^\beta tende a ser maior — daí i sai de \beta para \alpha até que as concentrações (e portanto os \mu) se ajustem e se tornem iguais.

Passo 8

Resumo final e incentivo: a condição de equilíbrio é simples e poderosa — igualar potenciais químicos — e a direção de fluxo é sempre da região de maior \mu para a de menor \mu para diminuir G. Você consegue usar essa ideia direto na prova: escreva dG para uma transferência infinitesimal e veja o sinal.

Resposta

\mu_i^\alpha = \mu_i^\beta
O componente i fluirá espontaneamente da fase \beta para a fase \alpha (ou seja, de onde \mu_i é maior para onde é menor) quando \mu_i^\beta > \mu_i^\alpha.

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