Faça o que se pede:
Encontre a equação cartesiana da hipérbole que tem focos sobre a reta x=3, tem uma de suas assíntotas como sendo a reta y=x-3 e um de seus vértices é o ponto de coordenadas cartesianas (3,4).

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana da hipérbole cujos focos estão sobre a reta x=3, uma de suas assíntotas é y = x - 3 e um vértice é (3,4). Como os focos ficam em x=3, o eixo transverso é vertical e a forma geral da hipérbole é
\frac{(y-k)^2}{a^2} \;-\;\frac{(x-h)^2}{b^2} \;=\;1,
onde (h,k) é o centro, a é o semi‐eixo transverso (vertical) e b o semi‐eixo conjugado.

Passo 2

As assíntotas dessa hipérbole são
y - k = \pm \frac{a}{b}\,(x - h).
Como uma delas é y = x - 3, o coeficiente angular é 1, logo
\frac{a}{b} = 1 \quad\Longrightarrow\quad b = a.
Também, escrevendo y = x - 3 na forma y - k = 1\,(x - h), obtemos
-\,h + k = -3.
Como a reta dos focos é x=3, tem-se h=3, então
k - 3 = -3 \quad\Longrightarrow\quad k = 0.
Logo o centro é (h,k)=(3,0).

Passo 3

A hipérbole tem vértices em (h,\;k\pm a). Um vértice dado é (3,4), ou seja
k + a = 4 \quad\Longrightarrow\quad 0 + a = 4 \quad\Longrightarrow\quad a = 4.
E como b=a, segue b=4.

Passo 4

Substituindo h=3, k=0, a=4 e b=4 na forma canônica, a equação fica
\frac{(y-0)^2}{4^2} \;-\;\frac{(x-3)^2}{4^2} \;=\;1,
ou seja
\frac{y^2}{16} \;-\;\frac{(x-3)^2}{16} \;=\;1 \quad\Longrightarrow\quad y^2 - (x-3)^2 = 16.

Resposta

A equação cartesiana da hipérbole é
y^2 - (x-3)^2 = 16.

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