Faça o que se pede:
Encontre a equação cartesiana da parábola que tem foco de coordenadas cartesianas F=(3,1) e reta diretriz de equação y=-1.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana da parábola cujo foco é F=(3,1) e cuja diretriz é a reta y=-1.
O conteúdo é a definição geométrica de parábola: cada ponto (x,y) satisfaz
\text{dist}((x,y),F)=\text{dist}((x,y),\text{diretriz})\,.
Vamos usar a fórmula da distância ponto–ponto e ponto–reta para montar essa igualdade.

Passo 2

Seja (x,y) um ponto genérico da parábola. A distância de (x,y) ao foco F=(3,1) é \sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}\,.
A distância de (x,y) à reta diretriz y=-1 é
\bigl|y-(-1)\bigr|=\bigl|y+1\bigr|.
Pela definição de parábola, igualamos essas distâncias:
\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2} \;=\;\bigl|y+1\bigr|.

Passo 3

Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
(x-3)^2+(y-1)^2 \;=\;(y+1)^2.

Passo 4

Expandimos e simplificamos:
(x-3)^2 + \bigl(y^2-2y+1\bigr) = \bigl(y^2+2y+1\bigr)
(x-3)^2 + y^2 -2y +1 = y^2 +2y +1
Cancelando y^2 e 1 dos dois lados:
(x-3)^2 -2y = 2y
(x-3)^2 = 4y.

Resposta

A equação cartesiana da parábola é
(x-3)^2 = 4\,y,
ou equivalentemente
y = \tfrac{1}{4}\,(x-3)^2.

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