. (2 pontos) Considere as afirmações abaixo:
(I) A equação em coordenadas polares r \cos \theta=3 representa, no sistema de coordenadas cartesianas, uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo-x).
(II) O ponto A=\left(2,-\frac{\pi}{2}\right) dado em coordenadas polares possui coordenadas cartesianas x=0 e y=-2.
(III) A equação em coordenadas polares r=4 \cos \theta representa uma circunferência de raio 2 e cujo centro tem coordenadas cartesianas C=(2,0).
Podemos afirmar que:
a). Todas as afirmações estão corretas.
b). Somente a afirmação (II) está correta.
c). Somente as afirmações (II) e (III) estão corretas.
d). Somente as afirmações (I) e (II) estão corretas.
e). Somente a afirmação (III) está correta.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre representações em coordenadas polares e pede quais estão corretas. O conteúdo necessário envolve a relação entre coordenadas polares e cartesianas, dadas por (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), e a conversão de equações polares para cartesianas.

Passo 2

Para avaliar (I), note que
r\cos\theta=3
implica
x=r\cos\theta=3,
que é uma reta vertical paralela ao eixo y, e não ao eixo x. Logo, a afirmação (I) é falsa.

Passo 3

Para avaliar (II), o ponto em coordenadas polares \bigl(r,\theta\bigr)=(2,-\tfrac{\pi}{2}) tem coordenadas cartesianas
x=2\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2\cdot0=0,
y=2\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2\cdot(-1)=-2.
Portanto, a afirmação (II) é verdadeira.

Passo 4

Para avaliar (III), partindo de
r=4\cos\theta
multiplicamos ambos os lados por r e usamos r^2=x^2+y^2 e r\cos\theta=x, obtendo
x^2+y^2=4x.
Completando o quadrado em x:
x^2-4x+y^2+4=(x-2)^2+y^2=4,
que é um círculo de raio 2 e centro C=(2,0). Logo, a afirmação (III) é verdadeira.

Passo 5

Concluímos que somente as afirmações (II) e (III) estão corretas.

Resposta

c

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