(2 pontos) As equações paramétricas \left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+2 \\\ y=2 t+1\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right. representam uma parabóla que tem vértice, foco e reta diretriz (equação), respectivamente:
a). V=(2,1), F=(3,1) e x=1.
b). V=(2,1), F=(1,1) e x=3.
c). V=(8,1), F=(9,1) e x=7.
d). V=(2,1), F=(2,2) e y=0.
e). V=(1,2), F=(2,2) e x=0.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
\begin{cases} x = t^{2} + 2,\\\ y = 2t + 1, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R},
que representam uma parábola. O que precisamos é encontrar o vértice, o foco e a equação da reta diretriz. Para isso, vamos eliminar o parâmetro e usar a forma padrão de uma parábola.

Passo 2

Isolamos t na segunda equação:
y = 2t + 1 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{y - 1}{2}.
Substituímos esse t em x = t^{2} + 2:
x = \Bigl(\frac{y - 1}{2}\Bigr)^{2} + 2 \quad\Longrightarrow\quad x - 2 = \frac{(y - 1)^{2}}{4}.

Passo 3

Multiplicando por 4, obtemos a forma cartesiana padrão:
4(x - 2) = (y - 1)^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad (y - 1)^{2} = 4\,(x - 2).
Esta é a equação de uma parábola com vértice (h,k)=(2,1) e parâmetro p tal que 4p=4, ou seja, p=1. A parábola abre para a direita.

Passo 4

O vértice (h,k) é
V = (2,1).

Passo 5

Para uma parábola na forma (y-k)^{2}=4p(x-h) que abre para a direita, o foco é
F = (h+p,\,k) = (2+1,\,1) = (3,1),
e a reta diretriz é
x = h - p = 2 - 1 = 1.

Resposta

(a) V=(2,1), F=(3,1) e x=1.

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