Faça o que se pede:
(a) Discuta e encontre a solução geral do seguinte sistema:
cc x+y+z-t+r=0 2 x+2 y+2 z+t+5 r=0 3 x+3 y+3 z+3 t+r=0
(b) Precisamos comprar 60 parafusos dentre os tipos pequeno, médio e grande de forma que a quantidade de parafusos grandes deve ser o dobro da soma dos outros dois tipos e que ao menos 5 de cada tipo sejam comprados. Quantos de cada tipo de parafuso podemos comprar?
i. Quais as restrições impostas a esse problema?
ii. Qual a matriz associada ao sistema que resolve esse problema?
iii. Quantas soluções adequadas as restrições impostas existem?
(c) Fixadas as constantes a e b reais não-nulas, mostre que existem x, y, z reais tais que a x-b y=a z-b x=a y-b z=1 somente no caso em que a neq b.

Passo 1

O enunciado tem três itens. No item (a) resolvemos um sistema linear de três equações e cinco incógnitas por eliminação de Gauss e parametrização. No item (b) modelamos um problema de compra de parafusos como um sistema linear com restrições de inteiros e de limites mínimos, montamos a matriz do sistema e contamos as soluções inteiras admissíveis. No item (c) mostramos que o sistema
a x - b y = 1, a z - b x = 1, a y - b z = 1
tem solução real apenas se aneq b, examinando o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

(item a) Seja
S = x+y+z
As equações são
S - t + r = 0, 2S + t + 5r = 0, 3S +3t + r = 0
Da primeira t = S + r. Substituindo na segunda:
2S + (S+r) + 5r = 0 ;Longrightarrow;3S +6r = 0;Longrightarrow;S = -2r
Logo t = -2r + r = -r. Na terceira:
3(-2r)+3(-r)+r = -6r -3r + r = -8r = 0 ;Longrightarrow;r = 0
Assim r=0, t=0 e S=0, ou seja
x+y+z=0, t=0, r=0
Dessa forma a solução geral é
(x,y,z,t,r) = (s,;tau,;-s-tau,;0,;0),
com s,tauinR.

Passo 3

(item b i) Denotando por p,m,g as quantidades de parafusos pequeno, médio e grande, as restrições são:
p+m+g = 60, g = 2(p+m), p>=5,;m>=5,;g>=5, p,m,ginZ

Passo 4

(item b ii) A matriz do sistema linear que traduz as duas primeiras equações é
1 & 1 & 1 2 & 2 & -1
aplicada ao vetor l(p,m,gr)^T, com termo independente l(60,0r)^T.

Passo 5

(item b iii) Da segunda equação g=2(p+m). Substituindo em p+m+g=60
p+m+2(p+m)=60;Longrightarrow;3(p+m)=60;Longrightarrow;p+m=20,;g=40
Como p,m>=5 e p+m=20, p pode valer de 5 a 15 e m=20-p. Há então
15 - 5 + 1 = 11
soluções inteiras admissíveis.

Passo 6

(item c) Escrevemos o sistema na forma , com
O determinante de é
Para , se e somente se . Logo existe (e é única) solução real exatamente quando .

Resposta

(a) (x,y,z,t,r)=(s,tau,-s-tau,0,0)mid s,tauinR
(b i) p+m+g=60,;g=2(p+m),;p,m,ginZ,;p,m,g>=5
(b ii) Matriz dos coeficientes 1&1&12&2&-1 com termos independentes (60,0)^T.
(b iii) Existem 11 soluções inteiras.
(c) O sistema admite solução real se e somente se aneq b.

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