Faça o que se pede:
(a) Discuta e encontre a solução geral do seguinte sistema:
(b) Precisamos comprar 60 parafusos dentre os tipos pequeno, médio e grande de forma que a quantidade de parafusos grandes deve ser o dobro da soma dos outros dois tipos e que ao menos 5 de cada tipo sejam comprados. Quantos de cada tipo de parafuso podemos comprar?
i. Quais as restrições impostas a esse problema?
ii. Qual a matriz associada ao sistema que resolve esse problema?
iii. Quantas soluções adequadas as restrições impostas existem?
(c) Fixadas as constantes a e b reais não-nulas, mostre que existem x, y, z reais tais que a x-b y=a z-b x=a y-b z=1 somente no caso em que a neq b.
Passo 1
O enunciado tem três itens. No item (a) resolvemos um sistema linear de três equações e cinco incógnitas por eliminação de Gauss e parametrização. No item (b) modelamos um problema de compra de parafusos como um sistema linear com restrições de inteiros e de limites mínimos, montamos a matriz do sistema e contamos as soluções inteiras admissíveis. No item (c) mostramos que o sistema
a x - b y = 1, a z - b x = 1, a y - b z = 1
tem solução real apenas se aneq b, examinando o determinante da matriz dos coeficientes.