Faça o que se pede:
Encontre a equação do plano tangente à superfície
z=ln (x-3 y)
no ponto (4,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície z=ln(x-3y) no ponto (4,1,0). Isso envolve derivadas parciais e a fórmula do plano tangente a uma superfície de uma variável independente dupla.

Passo 2

Para uma superfície z=f(x,y), o plano tangente em (x0,y0,z0) é dado por
z - z0 = fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)

Passo 3

Derivando f(x,y)=ln(x-3y) pelas coordenadas temos, usando regra da cadeia:
fx = 1x-3y,
fy = -3x-3y

Passo 4

No ponto (4,1) temos x-3y=4-3=1, logo
fx(4,1)=1,
fy(4,1)=-3,
além disso f(4,1)=ln1=0, que confere com z0=0.

Passo 5

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z - 0 = 1,(x-4) + (-3),(y-1)
Portanto,
z = x - 4 - 3y + 3 = x - 3y - 1

Resposta

z = x - 3y - 1

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