Faça o que se pede.
Esboce o gráfico da função
f(x)=c 2 x+1, se -3<x<0 2 x^2, se 0<x <= 2 2, se 2<x<3

Passo 1

Nesse exercício vamos desenhar o esboço de uma função definida por partes envolvendo um segmento de reta, um trecho de parábola e um segmento horizontal. O conteúdo é função por partes e vamos precisar analisar cada ramo separadamente, identificando domínio, forma e comportamento nos extremos.

Passo 2

Para o intervalo
-3<x<0 temos f(x)=2x+1, que é uma reta de coeficiente angular 2 e coeficiente linear 1. Avaliando nas extremidades abertas:
f(-3)=2cdot(-3)+1=-5 (ponto aberto em (-3,-5))
f(0)=2cdot0+1=1 (ponto aberto em (0,1))
Então desenhamos uma reta passando por esses pontos mas sem marcar os extremos.

Passo 3

Para o intervalo 0<x\le2 temos f(x)=2x^2, que é um ramo de parábola voltado para cima. Nos extremos:
f(0)=0 (ponto aberto em (0,0)),
f(2)=2cdot2^2=8 (ponto fechado em (2,8))
Esboçamos o arco da parábola ligando esses pontos, com o vértice em (0,0) mas sem marcar o ponto em x=0.

Passo 4

Para o intervalo 2<x<3 temos f(x)=2, uma reta horizontal. Nos extremos:
(2,2) e (3,2) ambos abertos
Desenhamos a reta horizontal y=2 entre x=2 e x=3, com círculos vazados em (2,2) e (3,2).

Passo 5

Agora combinamos todos os trechos no mesmo sistema de coordenadas: a reta inclinada de x=-3 a x=0, a parábola de x=0 a x=2 e o segmento horizontal de x=2 a x=3. Observamos que em x=0 a função não está definida (dois pontos abertos) e em x=2 há ponto fechado em f(2)=8.

Resposta

O esboço final mostra três partes:
  1. Uma reta de inclinação 2 passando de (-3,-5) a (0,1) com pontos abertos nas extremidades.
  2. Um segmento de parábola y=2x² de (0,0) aberto até (2,8) fechado.
  3. Um segmento horizontal y=2 de x=2 a x=3 com pontos abertos em (2,2) e (3,2).
Nos pontos x=0 e x=-3 e x=3 a função não está definida.

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