Justifique, usando a definição, que o limite é o número indicado.
lim x 1 x^2+2 x=3;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, via definição epsilon de<a, que
limxto1(x^2+2x)=3
Segundo a definição, devemos provar que, para todo epsilon>0, existe de<a>0 tal que, se 0<|x-1|<de<a, então
|x^2+2x-3|<epsilon

Passo 2

Analise a diferença entre a função e o valor 3:
|x^2+2x-3| =|x-1|cdot|x+3|
A ideia é controlar |x+3| restringindo |x-1|.

Passo 3

Se exigirmos |x-1|<1, então 0<x<2 e, portanto,
3<x+3<5 Longrightarrow |x+3|<=5
Dessa forma, sempre que |x-1|<1, vale
|x^2+2x-3|<=5,|x-1|

Passo 4

Para assegurar 5,|x-1|<epsilon, basta ter |x-1|<epsilon/5. Logo, defina
de<a = min1,;epsilon/5
Assim, se 0<|x-1|<de<a então simultaneamente |x-1|<1 e |x-1|<epsilon/5, o que implica
|x^2+2x-3|<=5,|x-1|<5cdotepsilon5=epsilon
Isso completa a prova pelo critério epsilon de<a.

Resposta

Concluímos que limxto1(x^2+2x)=3.

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