Justifique, usando a definição, que o limite é o número indicado.
lim x -3 x^2=9;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, a partir da definição de limite, que para a função f(x)=x^2 vale
limxto -3x^2=9
Ou seja, precisamos provar que, dado qualquer varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
0<|x-(-3)|<de<aLongrightarrow |x^2-9|<varepsilon

Passo 2

Vamos trabalhar a quantidade |x^2-9|. Note que
|x^2-9| = |x-3|;|;x+3;|
Como estamos fazendo xto -3, é natural controlar |x+3| para, em seguida, ter um limite sobre |x-3|.

Passo 3

Escolhemos garantir primeiro que |x+3|<1. Então, sempre que 0<|x+3|<1, temos
|x-3| = |(x+3)-6| <= |x+3| + 6 < 1 + 6 = 7
Logo, sob a condição |x+3|<1, obtemos
|x^2-9| = |x-3|;|x+3| < 7,|x+3|

Passo 4

Agora, para fazer |x^2-9|<varepsilon, basta exigir
7,|x+3| < varepsilon Long<=ftrightarrow |x+3| < varepsilon7
Definimos então
de<a = minl(1,;varepsilon7r)
Assim, se 0<|x+3|<de<a, garantimos ao mesmo tempo |x+3|<1 e |x+3|<varepsilon/7, implicando
|x^2-9| < 7,|x+3| < 7cdotvarepsilon7 = varepsilon
Isso fecha o argumento pela definição de limite.

Resposta

Dessa forma, para todo varepsilon>0 existe de<a=minl(1,varepsilon/7r)>0 tal que
0<|x+3|<de<a ;Longrightarrow; |x^2-9|<varepsilon,
o que mostra que limxto -3x^2=9.

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