Faça o que se pede:
De exemplo de uma base para R^4.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de base para R^4. O conteúdo envolve espaço vetorial, definição de base (conjunto de vetores que é simultaneamente linearmente independente e gera todo o espaço) e precisamos mostrar que os vetores escolhidos satisfazem essas duas propriedades.

Passo 2

Escolhemos o conjunto canônico
B = ,e1,e2,e3,e4,
em que
e1 = (1,0,0,0), e2 = (0,1,0,0), e3 = (0,0,1,0), e4 = (0,0,0,1)

Passo 3

Verificamos a independência linear. Suponha que existam escalares a1,a2,a3,a4 tais que
a1e1 + a2e2 + a3e3 + a4e4 = (0,0,0,0)
Isso dá o sistema de coordenadas
(a1,a2,a3,a4) = (0,0,0,0),
logo a1=a2=a3=a4=0. Portanto, B é linearmente independente.

Passo 4

Verificamos que B gera R^4. Seja um vetor arbitrário (x1,x2,x3,x4)inR^4. Podemos escrevê-lo como
(x1,x2,x3,x4) = x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4
Logo, qualquer vetor de R^4 é combinação linear de vetores de B.

Passo 5

Como B é ao mesmo tempo linearmente independente e gera todo R^4, concluímos que B é uma base de R^4.

Resposta

B = (1,0,0,0),,(0,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1)

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