\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}, CONVERGE?

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}.
Esse é um problema de séries de termos positivos, e vamos usar o teste da raiz para decidir a convergência.

Passo 2

Definimos o n-ésimo termo
a_n = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}.
Pelo teste da raiz, precisamos calcular
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}.

Passo 3

Observamos que
\sqrt[n]{a_n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} = \Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr)^{n}.
Como n\to\infty, vale o limite bem-conhecido
\Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr)^{n} \longrightarrow e^{-1}.
Portanto
L = e^{-1} < 1.

Passo 4

O teste da raiz afirma que se \limsup \sqrt[n]{a_n}=L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente. Aqui L=e^{-1}<1, logo a série converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}} converge.

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