\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(k!)}{(2 k)!}, CONVERGE OU DIVERGE?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{(2k)!}.
Aqui o conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da razão (ou critério de d’Alembert), que é ótimo quando aparecem fatoriais.

Passo 2

Denotamos o termo geral por
a_k = \frac{k!}{(2k)!}
e aplicamos o teste da razão, calculando
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{(k+1)!}{(2k+2)!}}{\frac{k!}{(2k)!}} = \frac{(k+1)!\,(2k)!}{(2k+2)!\,k!}.

Passo 3

Agora simplificamos fator a fator:
(2k+2)! = (2k+2)(2k+1)(2k)!,
então
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)\,k!}{(2k+2)(2k+1)\,(2k)!}\;\frac{(2k)!}{k!} = \frac{k+1}{(2k+2)(2k+1)} = \frac{k+1}{2(k+1)(2k+1)} = \frac{1}{2(2k+1)}.

Passo 4

Tomamos o limite quando k \to \infty:
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k\to\infty}\frac{1}{2(2k+1)} = 0.
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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