Faça o que se pede:
a) (0,5 ponto) Seja A=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]. Resolva o sistema linear homogeneo A x=0.
b) (1 ponto) Seja T a aplicação que a cada (x, y, z, w) associa a solução do sistema linear acima. Mostre que T é um operador linear. T é autoadjunto? T é ortogonal?
c) (1 ponto) Determine N(T) e \operatorname{Im}(T) . T é inversível?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede:
a) resolver o sistema homogêneo A x=0;
b) definir T\colon\mathbb R^4\to\mathbb R^4 que a cada (x,y,z,w) associa a solução do sistema acima, mostrar que T é linear, e verificar se é autoadjunto e ortogonal;
c) determinar N(T) e \Im(T) e dizer se T é inversível.

Passo 2

Para resolver A(x,y,z,w)^T=0 note que as duas equações distintas são
x+z=0 \quad\text{e}\quad y+w=0.
Logo z=-x e w=-y. O vetor genérico solução é
(x,y,z,w) = (x,y,-x,-y) = x\,(1,0,-1,0) \;+\; y\,(0,1,0,-1).

Passo 3

Definimos
T(x,y,z,w) = (x,y,-x,-y).
Como cada componente de T(x,y,z,w) é combinação linear das coordenadas de (x,y,z,w), T é operador linear.

Passo 4

A matriz de T na base canônica é
M = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ -1&0&0&0\\\\ 0&-1&0&0 \end{pmatrix},
então
M^T = \begin{pmatrix} 1&0&-1&0\\\\ 0&1&0&-1\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}.
Como M^T \neq M, T não é autoadjunto.

Passo 5

Verificando ortogonalidade, calculamos
M^T M = \begin{pmatrix} 2&0&0&0\\\\ 0&2&0&0\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \neq I_4.
Logo T não é ortogonal.

Passo 6

De T(x,y,z,w)=(0,0,0,0) segue x=0 e y=0, sem restrição em z,w. Assim
N(T)=\{(0,0,z,w)\mid z,w\in\mathbb R\} =\mathrm{span}\{(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}.
Como \Im(T)=\{(x,y,-x,-y)\mid x,y\in\mathbb R\} tem dimensão 2 e \dim N(T)=2, \ker T\neq\{0\} e T não é inversível.

Resposta

a) As soluções são
(x,y,z,w)=(x,y,-x,-y).
b) T(x,y,z,w)=(x,y,-x,-y) é linear, não é autoadjunto e não é ortogonal.
c)
N(T)=\mathrm{span}\{(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}, \quad \Im(T)=\{(x,y,-x,-y)\},
e T não é inversível.

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