(1,5 pontos) Obtenha uma base ortonormal para o complemento ortogonal de W=\{(x,-x, 0, x) ; x \in \mathbb{R}\}.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de W^\perp, onde
W = \{(x,-x,0,x)\mid x\in\mathbb{R}\}
é uma reta em \mathbb{R}^4.
Conteúdo: produto interno usual em \mathbb{R}^4 e processo de Gram–Schmidt para ortonormalizar vetores.

Passo 2

Identificamos W = \span\{v\} com
v = (1,-1,0,1).
Então W^\perp = \{\,u\in\mathbb{R}^4 : u\cdot v = 0\} e a equação u\cdot v=0 é
u_1 - u_2 + u_4 = 0.
Assim u=(u_1,u_2,u_3,u_4) satisfaz u_1 = u_2 - u_4 e pode ser escrito como combinação linear de três vetores livres.

Passo 3

Escolhemos uma base de W^\perp tomando parâmetros s=u_2,\;t=u_3,\;r=u_4:
u = (s-r,\;s,\;t,\;r) = s\,(1,1,0,0) \;+\; t\,(0,0,1,0)\;+\; r\,(-1,0,0,1).
Logo uma base é
b_1 = (1,1,0,0),\quad b_2 = (0,0,1,0),\quad b_3 = (-1,0,0,1).

Passo 4

Aplicamos Gram–Schmidt a \{b_1,b_2,b_3\} com o produto interno usual.
  1. Seja
u_1 = b_1 = (1,1,0,0),\quad \|u_1\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
  1. b_2 já é ortogonal a u_1 pois b_2\cdot u_1=0. Logo
u_2 = b_2 = (0,0,1,0),\quad \|u_2\|=1.
  1. Para b_3 subtraímos projeções em u_1 e u_2. Como b_3\cdot u_2=0, basta a projeção em u_1:
\mathrm{proj}_{u_1}(b_3) = \frac{b_3\cdot u_1}{\|u_1\|^2}\,u_1 = \frac{(-1)+0}{2}\,(1,1,0,0) = \bigl(-\tfrac12,-\tfrac12,0,0\bigr).
Então
v_3 = b_3 - \mathrm{proj}_{u_1}(b_3) = \bigl(-1,0,0,1\bigr) - \bigl(-\tfrac12,-\tfrac12,0,0\bigr) = \bigl(-\tfrac12,\tfrac12,0,1\bigr),
com norma
\|v_3\| = \sqrt{\bigl(-\tfrac12\bigr)^2+\bigl(\tfrac12\bigr)^2+1^2} = \sqrt{\tfrac14+\tfrac14+1} = \sqrt{\tfrac32} = \frac{\sqrt6}{2}.

Passo 5

Normalizamos u_1,u_2,v_3 para obter a base ortonormal:
e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \frac1{\sqrt2}\,(1,1,0,0).
e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = (0,0,1,0).
e_3 = \frac{v_3}{\|v_3\|} = \frac1{\frac{\sqrt6}{2}}\bigl(-\tfrac12,\tfrac12,0,1\bigr) = \Bigl(-\tfrac1{\sqrt6},\;\tfrac1{\sqrt6},\;0,\;\tfrac{2}{\sqrt6}\Bigr).

Resposta

Uma base ortonormal de W^\perp é
\Bigl\{ \bigl(\tfrac1{\sqrt2},\,\tfrac1{\sqrt2},\,0,\,0\bigr),\; (0,\,0,\,1,\,0),\; \bigl(-\tfrac1{\sqrt6},\,\tfrac1{\sqrt6},\,0,\,\tfrac{2}{\sqrt6}\bigr) \Bigr\}.

Exercícios relacionados