(1,5 pontos) Obtenha uma base ortonormal para o complemento ortogonal de
.
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal de
, onde
é uma reta em
.
Conteúdo: produto interno usual em e processo de Gram–Schmidt para ortonormalizar vetores.
Conteúdo: produto interno usual em
Passo 2
Identificamos
com
Então
e a equação
é
Assim
satisfaz
e pode ser escrito como combinação linear de três vetores livres.
Passo 3
Escolhemos uma base de
tomando parâmetros
:
Logo uma base é
Passo 4
Aplicamos Gram–Schmidt a
com o produto interno usual.
- Seja
-
já é ortogonal a pois . Logo
- Para
subtraímos projeções em e . Como , basta a projeção em :
Então
com norma
Passo 5
Normalizamos
para obter a base ortonormal:
Resposta
Uma base ortonormal de
é