Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente un contra-exemplo.
(1 ponto) O subconjunto {\operatorname{sen}(x), \cos (x)}) é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto \{\sin(x),\cos(x)\} do espaço vetorial das funções \mathbb{R}\to\mathbb{R} é linearmente independente. Para isso, vamos usar a definição: \sin(x) e \cos(x) são linearly independent se, sempre que
a\sin(x)+b\cos(x)=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
isso obrigar a=0 e b=0.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a\sin(x)+b\cos(x)=0
para todo x\in\mathbb{R}. Isto significa que a combinação
x\mapsto a\sin(x)+b\cos(x)
é a função nula.

Passo 3

Avaliando a identidade em x=0, obtemos
a\sin(0)+b\cos(0)=a\cdot 0 + b\cdot 1 = b = 0.

Passo 4

Como já vimos que b=0, agora avaliamos em x=\tfrac{\pi}{2}:
a\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+b\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = a\cdot 1 + 0\cdot 0 = a = 0.

Passo 5

Chegamos a a=0 e b=0. Logo, a única combinação linear que dá a função nula é a trivial, o que prova que \{\sin(x),\cos(x)\} é linearmente independente.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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