Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente un contra-exemplo.
(1 ponto) O subconjunto {\operatorname{sen}(x), \cos (x)}) é linearmente independente.
(1 ponto) O subconjunto {\operatorname{sen}(x), \cos (x)}) é linearmente independente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto
do espaço vetorial das funções
é linearmente independente. Para isso, vamos usar a definição:
e
são linearly independent se, sempre que
isso obrigar
e
.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
para todo
. Isto significa que a combinação
é a função nula.
Passo 3
Avaliando a identidade em
, obtemos
Passo 4
Como já vimos que
, agora avaliamos em
:
Passo 5
Chegamos a
e
. Logo, a única combinação linear que dá a função nula é a trivial, o que prova que
é linearmente independente.
Resposta
A afirmativa é verdadeira.