Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
No espaço da matrizes <A, B>=tr(A B^T) é um produto interno.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V de todas as matrizes reais de tamanho mtimes n e define, para A,Bin V,
lang<= A,Brang<= = trl(A,B^Tr)
Queremos verificar se isso de fato satisfaz as três propriedades de um produto interno bilinear em V:
  1. bilinearidade,
  2. simetria,
  3. positividade definida.

Passo 2

(Bilinearidade)
Temos de mostrar que para A1,A2,Bin V e alphain R vale
lang<= A1 + A2,,Brang<= =lang<= A1,Brang<= + lang<= A2,Brang<=, lang<= alpha A1,,Brang<= =alpha ,lang<= A1,Brang<=
De fato, usando as propriedades da traça,
lang<= A1 + A2,,Brang<= =trl((A1+A2)B^Tr) =tr(A1B^T)+tr(A2B^T) =lang<= A1,Brang<=+lang<= A2,Brang<=,
lang<= alpha A1,,Brang<= =trl((alpha A1)B^Tr) =alpha,tr(A1B^T) =alpha,lang<= A1,Brang<=

Passo 3

(Simetria)
Queremos lang<= A,Brang<==lang<= B,Arang<=. Usando tr(X^T)=tr(X) e que (AB^T)^T=BA^T,
lang<= A,Brang<= =tr(A,B^T) =trl((A,B^T)^Tr) =tr(B,A^T) =lang<= B,Arang<=

Passo 4

(Positividade definida)
Para todo Ain V,
lang<= A,Arang<= =tr(A,A^T)
Se escrevemos A=(aij), então
tr(A,A^T) =sumk=1^m(A,A^T)kk =sumk=1^msumj=1^nakj,akj =sumi=1^msumj=1^naij^2>=0
Além disso, lang<= A,Arang<==0 só pode ocorrer se todos os aij=0, isto é, A for a matriz nula.

Resposta

A afirmativa é verdadeira: lang<= A,Brang<==tr(A,B^T) define um produto interno (o produto interno de Frobenius) em Mmtimes n( R).

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