Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
No espaço da matrizes
é um produto interno.
No espaço da matrizes
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
de todas as matrizes reais de tamanho
e define, para
,
Queremos verificar se isso de fato satisfaz as três propriedades de um produto interno bilinear em
:
- bilinearidade,
- simetria,
- positividade definida.
Passo 2
(Bilinearidade)
Temos de mostrar que para e
vale
Temos de mostrar que para
De fato, usando as propriedades da traça,
Passo 3
(Simetria)
Queremos . Usando
e que
,
Queremos
Passo 4
(Positividade definida)
Para todo ,
Para todo
Se escrevemos
, então
Além disso,
só pode ocorrer se todos os
, isto é,
for a matriz nula.
Resposta
A afirmativa é verdadeira:
define um produto interno (o produto interno de Frobenius) em
.