Verifique o operador linear dado por é diagonalizável. Caso seja, descreva detalhadamente a relação de semelhança entre e matriz diagonal . Caso não seja, justifique detalhadamente sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores. Precisamos descobrir se existe uma matriz diagonal que seja similar à matriz de , ou seja, se .
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Para encontrar a matriz de , vamos ver como age sobre os vetores da base canônica de .
Assim, a matriz de em relação à base canônica é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica det([T] - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.
Com os autovalores em mãos, vamos verificar a multiplicidade algébrica e geométrica de cada um deles. Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica.
Vamos verificar cada autovalor:
lambda = 2 :
Encontramos um autovetor não nulo correspondente.
lambda = -1 :
Também encontramos um autovetor não nulo correspondente.
lambda = 1 :
Encontramos um autovetor não nulo correspondente.
lambda = 0 :
Encontramos um autovetor não nulo correspondente.
Como cada autovalor tem sua multiplicidade geométrica igual à algébrica, a matriz [T] é diagonalizável.
Passo 5
Para descrever a relação de semelhança entre [T] e a matriz diagonal D , precisamos formar a matriz D com os autovalores na diagonal e as colunas de P como os autovetores correspondentes.
E a matriz P será composta pelos autovetores encontrados para cada autovalor.
Resposta
O operador linear T é diagonalizável, e existe uma matriz diagonal D tal que [T] = PDP^-1 , onde D contém os autovalores de T na diagonal e P é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.