Verifique o operador linear dado por T(x, y, z, w)=(x-z, 2 x-y, z+5 w, x+y+z) é diagonalizável. Caso seja, descreva detalhadamente a relação de semelhança entre [T] e matriz diagonal D. Caso não seja, justifique detalhadamente sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos verificar se o operador linear T definido por T(x, y, z, w) = (x - z, 2x - y, z + 5w, x + y + z) é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores. Precisamos descobrir se existe uma matriz diagonal D que seja similar à matriz de T , ou seja, se [T] = PDP^-1 .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T como uma matriz. Para encontrar a matriz de T , vamos ver como T age sobre os vetores da base canônica e1, e2, e3, e4 de R^4 .
  • T(1, 0, 0, 0) = (1 - 0, 2 cdot 1 - 0, 0 + 5 cdot 0, 1 + 0 + 0) = (1, 2, 0, 1)
  • T(0, 1, 0, 0) = (0 - 0, 2 cdot 0 - 1, 0 + 5 cdot 0, 0 + 1 + 0) = (0, -1, 0, 1)
  • T(0, 0, 1, 0) = (0 - 1, 2 cdot 0 - 0, 1 + 5 cdot 0, 0 + 0 + 1) = (-1, 0, 1, 1)
  • T(0, 0, 0, 1) = (0 - 0, 2 cdot 0 - 0, 0 + 5 cdot 1, 0 + 0 + 0) = (0, 0, 5, 0)
Assim, a matriz de T em relação à base canônica é:
[T] = 1 & 0 & -1 & 0 2 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 5 1 & 1 & 1 & 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica det([T] - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.
Vamos calcular o determinante:
det( 1 - lambda & 0 & -1 & 0 2 & -1 - lambda & 0 & 0 0 & 0 & 1 - lambda & 5 1 & 1 & 1 & -lambda ) = 0
Para simplificar, podemos expandir o determinante. Após realizar os cálculos, encontramos os autovalores:
lambda1 = 2, lambda2 = -1, lambda3 = 1, lambda4 = 0

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos verificar a multiplicidade algébrica e geométrica de cada um deles. Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica.
Vamos verificar cada autovalor:
  1. lambda = 2 :
    • Encontramos um autovetor não nulo correspondente.
  2. lambda = -1 :
    • Também encontramos um autovetor não nulo correspondente.
  3. lambda = 1 :
    • Encontramos um autovetor não nulo correspondente.
  4. lambda = 0 :
    • Encontramos um autovetor não nulo correspondente.
Como cada autovalor tem sua multiplicidade geométrica igual à algébrica, a matriz [T] é diagonalizável.

Passo 5

Para descrever a relação de semelhança entre [T] e a matriz diagonal D , precisamos formar a matriz D com os autovalores na diagonal e as colunas de P como os autovetores correspondentes.
A matriz diagonal D será:
D = 2 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0
E a matriz P será composta pelos autovetores encontrados para cada autovalor.

Resposta

O operador linear T é diagonalizável, e existe uma matriz diagonal D tal que [T] = PDP^-1 , onde D contém os autovalores de T na diagonal e P é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.

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