Faça o que se pede:
Seja T(x, y, z)=(2 x+y, x+3 y+z, y+2 z). Determine, se possível, T^-1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa T^-1 da transformação linear
T(x,y,z) = (,2x+y,;x+3y+z,;y+2z,)
O conteúdo é inversão de transformação linear, que passa por representar T como matriz na base canônica, verificar se ela é invertível (determinante não nulo) e calcular sua matriz inversa.

Passo 2

Vamos escrever como matriz de ordem 3 em relação à base canônica. Observando as imagens das componentes de , temos
de modo que .

Passo 3

Para saber se A é invertível, calculamos seu determinante:
det(A) =2l(3cdot2 - 1cdot1r) -1l(1cdot2 - 1cdot0r) +0cdotl(1cdot1 - 3cdot0r) =2cdot5 -1cdot2 =10 -2 =8
Como det(A)=8neq0, A é invertível e T^-1 existe.

Passo 4

Para achar A^-1, usamos
A^-1 = 1det(A),adj(A),
onde adj(A) é a transposta da matriz de cofatores de A. Calculando os cofatores e montando a adjunta, obtemos
adj(A) = 5 & -2 & 1 -2 & 4 & -2 1 & -2 & 5
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A^-1 = 18 5 & -2 & 1 -2 & 4 & -2 1 & -2 & 5

Passo 5

Como corresponde à aplicação de , para temos

Resposta

T^-1(u,v,w) = 18l(,5u - 2v + w,;-2u + 4v - 2w,;u - 2v + 5wr)

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