Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
O espaço vetorial dos polinômios de grau 8 é isomorfo ao espaço das matrizes de ordem 3.
Passo 1
O enunciado pergunta se o espaço vetorial dos polinômios de grau é isomorfo ao espaço das matrizes sobre um corpo . O conteúdo principal é o conceito de isomorfismo de espaços vetoriais e a condição de existência de isomorfismo: dois espaços vetoriais finito-dimensionais são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão.
Passo 2
Mostramos que . Podemos tomar como base canônica de o conjunto
Esse conjunto é claramente linearmente independente e gera todos os polinômios de grau até 8. Logo,
Passo 3
Mostramos que . Uma base padrão de é dada pelas matrizes que têm na posição e nas demais, com . Há dessas matrizes, todas linearmente independentes e que geram . Portanto,
Passo 4
Como ambos os espaços têm mesma dimensão finita (), concluímos que eles são isomorfos. Podemos até construir um isomorfismo explícito: sejam
definimos
É fácil ver que varphi é linear, bijetora e portanto um isomorfismo de espaços vetoriais.