Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
O espaço vetorial dos polinômios de grau 8 é isomorfo ao espaço das matrizes de ordem 3.

Passo 1

O enunciado pergunta se o espaço vetorial P8 dos polinômios de grau <=8 é isomorfo ao espaço M3(Bbb K) das matrizes 3times3 sobre um corpo Bbb K. O conteúdo principal é o conceito de isomorfismo de espaços vetoriais e a condição de existência de isomorfismo: dois espaços vetoriais finito-dimensionais são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão.

Passo 2

Mostramos que dim P8=9. Podemos tomar como base canônica de P8 o conjunto
1,;x,;x^2,;dots,;x^8
Esse conjunto é claramente linearmente independente e gera todos os polinômios de grau até 8. Logo,
dim P8=9

Passo 3

Mostramos que dim M3(Bbb K)=9. Uma base padrão de M3(Bbb K) é dada pelas matrizes Eij que têm 1 na posição (i,j) e 0 nas demais, com 1<= i,j<=3. Há 3times3=9 dessas matrizes, todas linearmente independentes e que geram M3(Bbb K). Portanto,
dim M3(Bbb K)=9

Passo 4

Como ambos os espaços têm mesma dimensão finita ( 9), concluímos que eles são isomorfos. Podemos até construir um isomorfismo explícito: sejam
p(x)=a0 + a1x + cdots + a8x^8in P8,
definimos
varphicolon P8 to M3(Bbb K), varphi(p) = a0 & a1 & a2 a3 & a4 & a5 a6 & a7 & a8
É fácil ver que varphi é linear, bijetora e portanto um isomorfismo de espaços vetoriais.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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