Faça o que se pede:
Seja
uma transformação linear injetiva. Mostre que
leva base em base.
Seja
Passo 1
Resumindo o enunciado: seja
um espaço vetorial de dimensão finita
sobre um corpo
e
uma transformação linear injetiva. Queremos mostrar que, se
é uma base de
, então
é também uma base de
. Para isso, vamos usar conceitos de independência linear, dimensão de imagem e o teorema da dimensão.
Passo 2
Mostramos que
é linearmente independente. Suponha que exista relação linear
Pela linearidade de
,
Como
é injetiva, o único vetor com imagem zero é o vetor zero, logo
Mas
é base, portanto linearmente independente, o que implica
para todo
. Logo
é linearmente independente.
Passo 3
Agora usamos o fato de que em dimensão finita uma transformação linear injetiva é também sobrejetiva. De fato,
pois a nulidade é zero e vale o teorema da dimensão. Como
e têm a mesma dimensão, conclui-se
. Portanto
é sobrejetiva.
Passo 4
Como
é sobrejetiva, dado qualquer
existe
tal que
. Escrevendo
na base
,
temos
Isto mostra que
gera
.
Resposta
Concluímos que
é uma base de
. Portanto
leva base em base.