Faça o que se pede:
Seja T: V V uma transformação linear injetiva. Mostre que T leva base em base.

Passo 1

Resumindo o enunciado: seja V um espaço vetorial de dimensão finita n sobre um corpo K e
Tcolon V to V
uma transformação linear injetiva. Queremos mostrar que, se B = v1,dots,vn é uma base de V, então
T(B)=T(v1),dots,T(vn)
é também uma base de V. Para isso, vamos usar conceitos de independência linear, dimensão de imagem e o teorema da dimensão.

Passo 2

Mostramos que T(B) é linearmente independente. Suponha que exista relação linear
sumi=1^n ai,T(vi)=0(aiin K)
Pela linearidade de T,
Tl(sumi=1^n ai vir)=0
Como T é injetiva, o único vetor com imagem zero é o vetor zero, logo
sumi=1^n ai vi = 0
Mas B é base, portanto linearmente independente, o que implica ai=0 para todo i. Logo T(B) é linearmente independente.

Passo 3

Agora usamos o fato de que em dimensão finita uma transformação linear injetiva é também sobrejetiva. De fato,
diml(ImTr)=dim V
pois a nulidade é zero e vale o teorema da dimensão. Como ImTsubseteq V e têm a mesma dimensão, conclui-se ImT=V. Portanto T é sobrejetiva.

Passo 4

Como T é sobrejetiva, dado qualquer win V existe vin V tal que T(v)=w. Escrevendo v na base B,
v=sumi=1^n bi vi,
temos
w = T(v) = sumi=1^n bi,T(vi)
Isto mostra que T(B) gera V.

Resposta

Concluímos que T(v1),dots,T(vn) é uma base de V. Portanto T leva base em base.

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