Faça o que se pede:
Seja W=[t, 1-t^2] um subespaço vetorial de P^3. Encontre uma base ortonormal para W^perp considerando lang<= p, qrang<==integral0^1 p(t) q(t) d t.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de
W^perp=pin P^3 mid lang<= p,trang<==0, lang<= p,,1-t^2rang<==0,
onde
lang<= p,qrang<==integral0^1p(t),q(t),dt
Como dim P^3=4 e W=spant,1-t^2 tem dimensão 2, segue que dim W^perp=2. Vamos achar duas soluções linearly independentes do tipo
p(t)=a + b,t + c,t^2 + d,t^3
sujeitas a
integral0^1 p(t),t,dt = 0, integral0^1 p(t),(1-t^2),dt = 0

Passo 2

Calculemos as duas condições:
  1. integral0^1p(t),t,dt=0
integral0^1(a,t + b,t^2 + c,t^3 + d,t^4),dt = a2 + b3 + c4 + d5 =0
  1. integral0^1p(t)(1-t^2),dt=0
integral0^1(a + b,t + c,t^2 + d,t^3),dt - integral0^1(a,t^2 + b,t^3 + c,t^4 + d,t^5),dt=0,
isto é
l(a+tfrac b2+tfrac c3+tfrac d4r) -l(tfrac a3+tfrac b4+tfrac c5+tfrac d6r)=0 ;Longrightarrow; 40a +15b +8c +5d =0
A outra equação, multiplicada por 60, é
30a +20b +15c +12d=0

Passo 3

Resolvendo o sistema
30a +20b +15c +12d=0, 40a +15b + 8c + 5d=0,
obtém-se
a=13c+16d70, b=-36c+33d35
Para escolher uma base inteira, tomamos duas escolhas independentes de (c,d):
  • Para (c,d)=(2,0) vem
    a=13/35, b=-72/35, e multiplicando tudo por 35 obtemos w1(t)=13 -72,t +70,t^2
  • Para (c,d)=(0,1) vem
    a=16/70=8/35, b=-33/35, e multiplicando por 35 obtemos w2(t)=8 -33,t +35,t^3
Assim w1,w2 é base de W^perp.

Passo 4

Aplicamos Gram–Schmidt em w1,w2. Primeiro calcule
lang<= w1,w1rang<==833, lang<= w1,w2rang<==834, lang<= w2,w2rang<==16
Então
u1 = w1, u2 = w2 - lang<= w2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = w2 - 83/483/3,w1 = w2 - tfrac34,w1
Calcula-se
u2(t)= -7 +84,t -210,t^2 +140,t^3,
e verifica-se
lang<= u2,u2rang<==7.

Passo 5

Agora normalizamos:
|u1|=raiztfrac833, |u2|=raiz7
Logo uma base ortonormal de W^perp é
e1(t) = w1(t)|u1| = raiz383l(13 -72,t +70,t^2r), e2(t) = u2(t)|u2| = -7 +84,t -210,t^2 +140,t^3raiz7

Resposta

Uma base ortonormal de W^perp é dada por
boxed e1(t)=raiz383l(13 -72,t +70,t^2r), e2(t)=-7 +84,t -210,t^2 +140,t^3raiz7

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